Comment se comporte la moyenne temporelle

des valeurs observées au cours de n instants successifs ?
Dans le cas où f ne prend que les valeurs 1 (sur une partie A de l'espace d'états) et 0 (en dehors de A), cette moyenne mesure la proportion du temps passé dans A entre l'instant 0 et l'instant n-1. Lorsque n est grand, on peut s'attendre à ce qu'elle soit proche de P(A), qui est la probabilité d'être en A à un instant donné. Si c'est effectivement le cas pour toute partie A, on dit que le système est ergodique.
L'ergodicité du système peut s'interpréter de la façon suivante : la répartition d'une suite d'états successifs x, T(x), T²(x),... est celle de tous les états possibles à un instant donné. On dit aussi que la moyenne temporelle coïncide avec la moyenne spatiale.

Les figures ci-dessus montrent la répartition de 100 états successifs pour deux valeurs différentes de l'angle a.
Si a mesuré en degrés est un nombre irrationnel (à gauche), la rotation est ergodique. Si a est un rationnel (à droite, on a pris a=45^o), la périodicité empêche les états successifs de se répartir uniformément sur le cercle.