Dans ce travail nous nous intéressons aux aspects théorique et pratique
de l'estimation d'une densité conditionnelle par la méthode du noyau.
Dans un premier temps nous considérons les propriétés asymptotiques de
l'estimateur à noyau. Ces propriétés dépendent essentiellement du
paramètre de lissage et de la régularité de la densité conditionnelle.
Nous montrons que, comme dans la plupart des problèmes d'estimation
fonctionnelle, le choix du paramètre de lissage joue un rôle crucial dans
le comportement asymptotique de l'estimateur. Dans un second temps, nous
abordons dans le cadre d'un échantillon i.i.d., le problème de la
sélection du paramètre de lissage. Ensuite nous généralisons les
résultats obtenus au cas d'observations dépendantes (mélange fort ou
a-mélange). Plus précisement, nous proposons un critère de
sélections de la largeur de fenêtre basé sur la validation croisée.
Un résultat
d'optimalité de la fenêtre sélectionnée est établi.
Les résultats théoriques obtenus concernant le choix de la fenêtre sont
illustrés par des simulations sur des échantillon i.i.d.
Mots clés :
Densité conditionnelle, estimation non-paramétrique, méthode du noyau, sélection du paramètre de lissage, validation croisée.
Abstract
In this thesis, theoretical an practical aspects of the estimation of a
conditional probability density by kernel type estimator are considered.
In a first stage, we consider the asymptotic properties of the estimator.
These properties depend essentially on the smoothing parameter and the
smoothness of the conditional density. It is shown that, as in many functional
estimation problem, the choice of the smoothing parameter plays a crucial role
for the asymptotic behavior of the estimator. In a second stage, for i.i.d.
samples, we consider smoothing parameter selection problem. More precisely
we propose a data-driven method based on cross validation ideas to select
the bandwidth. The selected bandwidth is shown to be asymptotically optimal.
Then, in a third stage, we generalize this last result to dependent samples
(a-mixing or strong mixing).
The theorical results obtained in the setting of i.i.d. samples dealing with
the selection of bandwidth are illustrated by simulations on finite samples.
Keywords:
Conditional density, non parametric estimation, kernel estimate, smoothing parameter selection, cross-validation.
