RACHDI Mustapha  

Université de Rouen
Analyse et Modèles Stochastiques
UPRES-A CNRS 6085, site Colbert
76821 Mont-Saint Aignan



Tél : (33)[0]2 35 14 71 34
Fax : (33)[0]2 32 10 37 94
Adresse électronique : Mustapha.Rachdi@univ-rouen.fr

Composition du Jury  :

Président	:	C. Dellacherie	Directeur de Recherche CNRS, Université de Rouen.
Rapporteurs	:	D. Bosq	Professeur, Université de Paris VI.
		P. Vieu	Professeur, Université de Toulouse III.
Directeur de Thèse	:	M. Bertrand	Professeur, Université du Havre.
Examinateurs	:	M. Delecroix	Professeur, ENSAI de Rennes.
		M. Carbon	Professeur, Université de Rennes II.
		E. Youndjé	Maître de conférences, Université de Rouen.
		J. Geffroy	Professeur, Invité.

Résumé

Dans ce travail, nous nous intéressons aux aspects théorique et pratique de l'estimation d'une densité spectrale par la méthode du noyau. Ce travail est constitué de deux parties.
Dans la première partie, nous considérons les propriétés asymptotiques de l'estimateur à noyau. Ces propriétés dépendent essentiellement du paramètre de lissage et de la régularité de la densité spectrale. Nous montrons que, comme dans la plupart des problèmes d'estimation fonctionnelle, le choix du paramètre de lissage joue un rôle crucial dans le comportement asymptotique de l'estimateur. Dans un second temps, nous abordons, dans le cadre d'un processus à temps discret (avec ou sans hypothèse de mélangeance), le problème de la sélection du paramètre de lissage. Ensuite nous étendons les résultats obtenus au cas des processus à temps continu (toujours avec ou sans hypothèse de mélangeance). Plus précisément, nous proposons (dans chaque cas) un critère de sélection de la largeur de fenêtre basé sur la validation croisée. Des résultats d'optimalité de la fenêtre sélectionnée sont établis.
Les résultats théoriques obtenus concernant le choix de la fenêtre sont illustrés par des simulations.
Dans la seconde partie, nous établissons et étudions le comportement asymptotique d'un estimateur à noyau de la densité spectrale p-adique à partir d'observations certaines. Ensuite, nous établissons et étudions le comportement asymptotique d'un estimateur de la densité spectrale p- adique à partir d'un échantillonnage aléatoire. Enfin, nous estimons et étudions le comportement asymptotique d'un estimateur de la densité de la mesure spectrale mixte p-adique par la méthode du double noyau.

Mots clés : Périodogramme, Analyse spectrale, Cumulants, Validation croisée, Nombres p-adiques, Modes de convergence

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Abstract

In this thesis, theoretical and practical aspects of the estimation of the spectral density by kernel type estimators are considered. This work is composed of two parts.
In the first part, we consider the asymptotic properties of the estimators. These properties depend essentially on the smoothing parameter and on the smoothness of the spectral density. It is shown that, as in many functional estimation problems, the choice of the smoothing parameter plays a crucial role for the asymptotic behavior of the estimator. In a second stage, for processes with discrete time (with or without the mixing hypothesis), we consider the smoothing parameter selection problem. Then extend the results obtained to the case of processes with continuous time (always with or without the mixing hypothesis). More precisely, we propose a data-driven method based on cross validation ideas to select the bandwidth.
The selected bandwidth is shown to be asymptotically optimal. The theoretical results obtained are illustrated by simulations on finite samples.
in the second part, we estimate the p-adic spectral density of a p- adic stationary process from random and non random sampling. Then, using the double kernel method, we estimate the density of the continuous part, when the p-adic process has a mixed spectrum.

Keywords: Periodogram, Spectral analysis, Cumulant, Cross validation, P-Adic field, Convergence modes

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