Cette thèse est composée de deux parties distinctes : la première relève de la statistique bayésienne et la seconde des méthodes de Monte Carlo.
Nous étudions, dans la première partie,
l'apport des lois non informatives de référence. Nous obtenons,
via ces lois et les régions de confiance bayésiennes, une
solution au classique problème de Fieller-Creasy posé par
le modèle de calibration.
Un deuxième problème est l'estimation de
fonctions quadratiques d'une moyenne normale. Il conduit à de surprenantes
complications dans les inférences bayésiennes et fréquentistes.
Nous évaluons les propriétés de ces lois et plus particulièrement
leurs propriétés de couverture pour ce modèle.
La seconde partie de cette thèse est consacrée
à l'estimation des intégrales par les méthodes de
Monte Carlo. Nous introduisons un estimateur de Monte Carlo basé
sur les propriétés des sommes de Riemann. Nous montrons que
cet estimateur possède des propriétés de convergence
supérieures aux approches classiques.
Nous montrons que la méthode d'échantillonnage
pondéré se généralise à notre
estimateur et produit un estimateur optimal en terme de réduction
de la variance.
Nous généralisons notre estimateur aux
méthodes de Monte Carlo par chaines de Markov. De plus, nous établissons
un critère de contrôole de convergence des chaînes de
Markov issues des algorithmes de Monte Carlo par chaînes de Markov.
L'étape de simulation des variables aléatoires, qui apparait
dans les méthodes de Monte Carlo, est abordée dans notre
étude des lois gamma tronquées. Nous déterminons des
algorithmes
d'acceptation-rejet dominant les approches classiques.
Nous avons illustré les différents résultats obtenus
par de nombreuses simulations.
Abstract :
Two distinct sections constitute this thesis : the first
section deals
with the Bayesian inference and the second section with
the Monte Carlo method.
In the first section, we study the properties of the reference prior. For the calibration model, we show that these priors give a solution to the Fieller-Creasy problem. The estimation of the quadratic functions of a multivariate normal mean is an inferential problem which give rise to complications both from frequentist and Bayesian points of view. We study the properties of the reference priors and more particularly the coverage properties.
The Monte Carlo methods produce different estimators to
approximate integrals. We propose and study a new estimator based on the
Riemann sums. We prove that this estimator improve upon the standard estimators
in terms of rate of convergence.
Moreover, by using the importance sampling method, we
obtain an estimator which is optimal in terms of convergence rate of the
variance. This estimator can be generalized to the Monte Carlo by Markov
chain method. Moreover, we establish a new criterion to control the convergence
of the Markov chain Monte Carlo algorithm. Many simulations illustrate
the different properties given in this thesis
Keywords: Bayesian statistic; calibration model; Monte Carlo integration; non centrality parameter; order statistic; reference prior; Riemann estimator; truncated Gamma distribution.
