OUCHTI Lahcen

Laboratoire Raphaël SALEM
UMR 6085 CNRS - Université de Rouen
Avenue de l'Université
76801 Saint Étienne du Rouvray



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Fax : (33)[0]2 32 95 52 86
Adresse électronique : lahcen.ouchti@univ-rouen.fr

Composition du Jury  :

Président	:	C. Dellacherie	Directeur de recherche CNRS, Université de Rouen
Rapporteurs	:	J. P. Conze	Professeur émérite, Université de Rennes 1
		M. Woodroofe	Professeur, Michigan University
		W. B. Wu	Professeur, Chicago University
Examinateurs	:	J. Dedecker	Maître de Conférences, Université Paris 6
		P. Doukhan	Professeur, Université de Cergy Pontoise
Directeur de Thèse	:	D. Volný	Professeur, Université de Rouen

Résumé

Dans cette thèse, nous étudions la vitesse de convergence dans le théorème central limite dans une première partie et le principe d'invariance dans l'autre partie. Le premier et le deuxième chapitre sont consacrés à l'étude de la vitesse de convergence dans le théorème central limite pour les différences de martingale. Après avoir rappelé quelques résultats sur ce sujet, nous donnerons une extension au cas non borné des résultats d'Ibragimov (1963) et de Bolthausen (1982). Le troisième chapitre est consacré au principe d'invariance pour les champs aléatoires stationnaires de type de différences de martingale des variances conditionnelles bornées d'une part et les champs de variables aléatoires i.i.d. d'autre part. Enfin, dans le quatrième chapitre, nous nous intéressons au théorème central limite conditionel (TCLC) au sens de Maxwell et Woodroofe (2000) et nous établissons que le TCLC peut avoir lieu pour un processus stationnaire défini sur un système dynamique non-ergodique alors que ce dernier ne satisfait pas le théorème central limite pour n'importe quelle composante ergodique. Nous montrons que le principe d'invariance de Donsker établi par Peligrad et Utev (2005) peut avoir lieu pour un processus non adapté sous des conditions de nature projective.

Mots clés : Théorème ergodique, Système dynamique ergodique, Théorème central limite, Théorème central limite fonctionel, Théorème central limite conditionel, Différence de martingale, Entropie métrique, La décomposition de Lindeberg, Principle d'invariance, Vitesse de convergence, Champs aléatoires, Espaces de Orlicz; Inégalités exponentielles, Inégalité maximale.

Abstract

In this thesis, we study the rate of convergence in the central limit theorem for the martingale difference sequences and invariance invariance principle for standard-normalized and self-normalized random fields. The first and the second chapter are devoted to the study the rate of convergence in the central limit theorem for the martingale difference sequences. We give an extension of the central limit theorem established by Ibragimov (1963) and Bolthausen (1982) to a large class of unbounded martingale difference sequences. In the third chapter, we give a positive answer to the validity of the invariance principle for square-integrable martingale difference random fields which conditional variances are bounded almost surely and for i.i.d. random fields. Finally, in the last chapiter we are interested in the conditional central limit theorems (CCLT) established by Maxwell and woodroofe (2000). We also show that the CCLT can take place for a stationary process defined on a nonergodic dynamic system whereas the last does not satisfy the central limit theorem for any ergodic component. We establish the Donsker invariance principle for a class of not adapted stationary process.

Keywords: Asymptotic normality; ergodic theorem; Ergodic dynamical system; Central limit theorem; Functional central limit theorem; Martingale difference sequence; Metric entropy; Lindeberg's decomposition; Invariance principle; Rate of convergence; Random fields; Orlicz spaces; Exponential inequalities; Maximal inequality.