OUASSOU Idir

Université de Rouen
Analyse et Modèles Stochastiques
UPRES-A CNRS 6085, site Colbert
76821 Mont-Saint Aignan



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Adresse électronique : Idir.Ouassou@univ-rouen.fr

Composition du Jury  :

Président	:	C. Dellacherie	Directeur de Recherche au CRNS, Université de Rouen
Rapporteurs	:	E. Marchand	Professeur, École des Hautes Etudes Canadiennes, Québec
		X. Milhaud	Professeur, Université Paul Sabatier, Toulouse
Directeur de Thèse	:	D. Fourdrinier	Professeur, Université de Rouen
Examinateurs	:	W. E. Strawderman	Professeur, Rutgers University, USA
		M. T. Wells,	Professeur, Cornell University, USA

Résumé

Cette thèse a pour cadre la famille des lois à symétrie sphérique dont le paramètre de position est inconnu mais est soumis à certaines contraintes. Le cas particulier où la loi est gaussienne est développé séparément.

Dans le premier chapitre, nous étudions le problème de l'estimation de la moyenne d'une telle loi quand sa norme est égale à une constante positive connue. Nous montrons que, sous coût quadratique, il existe un estimateur optimal de la moyenne dans la classe des estimateurs de type de James-Stein paramétrés par une constante positive. Ensuite nous donnons une classe plus générale d'estimateurs, dits robustes. Nous montrons que la constante optimale qui minimise le risque dans cette classe est bornée inférieurement par une constante indépendante de la contrainte et valide pour l'ensemble des estimateurs de cette classe.

Dans le second chapitre, nous abordons le même problème avec l'hypothèse que les différentes contraintes considérées sont basées sur la positivité de toutes les composantes ou de quelques composantes de la moyenne.

Le troisième chapitre fournit une généralisation de ce problème d'estimation de la moyenne quand celle-ci est restreinte à un cône polyédral.

Enfin, dans le dernier chapitre de cette thèse, nous étendons la problématique d'estimation sous contraintes à l'estimation du coût quadratique d'un estimateur de la moyenne. Les contraintes considérées sont celles envisagées dans les deux premiers chapitres : la norme de la moyenne est connue ou certaines de ses composantes sont supposées positives.

Mots clés : Lois à symétrie sphérique, contraintes, paramètre de position, estimateur, coût quadratique, robustesse.

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Abstract

The scope of this thesis is the family of the spherically symmetric distributions whose the location parameter is unknown but satisfies some constraints. The particular case where the distribution is normal is separately developed.

In the first chapter, we study the problem of estimating the mean of such a distribution when its norm is known to be equal to a fixed positive constant. We show that, under quadratic loss, there exists an optimal estimator within the class of James-Stein type estimators parameterized by a positive constant. Next we give a large class of estimators, called robust estimator. We prove that the optimal constant which minimizes the risk within this class is smaller than a constant independent of the constraint and valid for all the estimators of this class.

In the second chapter, we tackle the same problem under the assumption that, either all the components of the mean are nonnegative, or only some of them are nonnegative.

The third chapter gives a generalization of this estimation problem when the mean is restricted to a polyhedral cone.

In the last chapter, we extend the estimation problem of the location parameter under constraints to the quadratic loss estimation of an estimator of the mean. The different constraints are the one considered in the first two chapters: the norm of the mean is known or some of the components are supposed to be non negative.

Keywords: Spherically symmetric distributions, constraints, location parameter, estimator, quadratic loss, robust.

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