Cette thèse, constituée de trois parties, est consacrée à l'étude de l'homogénéisation de l'équation de la chaleur et des ondes, dans le cas
de coefficients rapidement oscillants et d'un domaine périodiquement perforé.
Dans la première partie, on étudie le comportement asymptotique de l'équation de la chaleur sous de
faibles hypothèses de convergence des données
initiales, quand la période tend vers zéro.
On montre ensuite un résultat de correcteurs pour ce problème.
La deuxième partie de la thèse, concerne
l'étude du comportement asymptotique d'un problème
de contrôlabilité approchée pour l'équation de la chaleur considérée dans la première partie. En utilisant les résultats obtenus précédemment et des techniques de Gamma-convergence, on décrit le comportement
asymptotique de ce problème. Plus précisément,
on montre que la contrôlabilité approchée du problème homogénéisé est pénalisée par une constante qui mesure la proportion de
matériaux dans le domaine.
La troisième partie est consacrée à l'étude des correcteurs de l'équation des ondes. On donne des conditions suffisantes sur les données initiales, qui assurent la convergence des énergies vers l'énergie du problème homogénéisé. On établit alors un résultat de correcteurs.
Mots clés :
Homogénéisation, domaines perforés, équation de la chaleur, équation des ondes, contrôlabilité approchée.
Abstract
This thesis is devoted to the analysis of the homogenization of the solutions of linear heat and wave equations with rapidly oscillating coefficients
in a periodically perforated domain.
In the first part, we study the asymptotic behavior of the solutions of the heat equation, under weak convergence assumptions on the initial data and the source term, as the period tends to zero. Further we prove a corrector result.
The second part is devoted to the study of the approximate
controllability problem considered in the first one.
By using the results obtained therein and some
G-convergence techniques, we describe the limit behavior of this problem. We obtain as limit case the approximate controllability of the homogenized problem.
In the limit problem, the approximation of the final state is altered by a constant which depends on the proportion of material in the perforated domain.
In the third part, we study the correctors for the wave equation. We give sufficient conditions on the initial data to show the convergence of the energy to that of the limit problem. Then we establish a correctors result.
Keywords:
Homogenization, perforated domains,
heat equation, wave equation, approximate controllability.
