Nous nous intéressons à deux problèmes particuliers de régularité au bord d'applications holomorphes.
Dans un premier temps, nous étudions l'analyticité d'applications de Cauchy-Riemann lisses entre hypersurfaces analytiques réelles des espaces complexes. Nous commençons par réexposer un théorème de Baouendi, Jacobowitz et Trèves sur l'analyticité de difféomorphismes de Cauchy-Riemann lisses entre hypersurfaces (ou variétés CR) essentiellement finies. Nous établissons ensuite un résultat d'extension d'applications de Cauchy-Riemann entre hypersurfaces holomorphiquement non-dégénérées (au sens de Stanton) via un principe de réflexion. Nous donnons aussi une caractérisation en termes algébriques, de la non-dégénérescence holomorphe de toute hypersurface algébrique réelle. Le résultat d'extension confirme une conjecture qui affirme que tout difféomorphisme de Cauchy-Riemann lisse entre deux hypersurfaces minimales (au sens de Tumanov) holomorphiquement non-dégénérées et analytiques réelles est en fait analytique.
Dans un deuxième temps, nous étudions les germes d'applications holomorphes entre hypersurfaces algébriques réelles des espaces complexes. Nous démontrons un résultat qui généralise un théorème de Baouendi et Rothschild qui affirme que tout biholomorphisme entre hypersurfaces algébriques réelles holomorphiquement non-dégénérées est une application algébrique.
Mots clés :
Application de Cauchy-Riemann, principe de réflexion, hypersurface analytique réelle, hypersurface algébrique, dégénérescence holomorphe.
Abstract
We are interested in two special problems of boundary regularity of holomorphic mappings.
In one hand, we study the real analyticity of smooth Cauchy-Riemann mappings between real analytic hypersurfaces of complex spaces. We begin with a reexplanation of a well-known result of Baouendi, Jacobowitz and Trèves concerning the real analyticity of smooth Cauchy-Riemann diffeomorphisms between essentially finite hypersurfaces (or CR manifolds). We then prove a result about holomorphic extension of Cauchy-Riemann mappings between holomorphically non-degenerate hypersurfaces (in the sense of Stanton) thanks to a reflection principle. We also characterize, in algebraic terms, the holomorphic non-degeneracy of a real algebraic hypersurface. The result confirms a conjecture which states that a smooth Cauchy-Riemann diffeomorphism between two minimal (in the sense of Tumanov) holomorphically non-degenerate real analytic hypersurfaces is in fact real analytic.
On the other hand, we study holomorphic mappings between real algebraic hypersurfaces of complex spaces. We prove a result which generalizes a theorem of Baouendi and Rothschild, namely that a biholomorphism between holomorphically non-degenerate real algebraic hypersurfaces is an algebraic mapping.
Keywords:
Cauchy-Riemann mapping, reflection principle, real analytic hypersurface, real algebraic hypersurface, holomorphic degeneracy.
