MAILLARD Grégory

Université de Rouen
Laboratoire Raphaël SALEM
UMR CNRS 6085, site Colbert
76821 Mont-Saint Aignan



Tél : (33)[0]2 35 14 71 36
Fax : (33)[0]2 32 10 37 94
Adresse électronique : Gregory.Maillard@univ-rouen.fr

Composition du Jury  :

Président	:	C. Dellacherie	Directeur de recherche CNRS, Université de Rouen
Rapporteurs	:	P. Collet	Professeur, École Polytechnique
		A. Galves	Professeur, Universidade de Sao Paulo
Examinateurs	:	Y. Lacroix	Professeur, Université de Picardie
		J. de sam Lazaro	Professeur, Université de Rouen
		B. Schmitt	Professeur, Université de Dijon
Directeur de Thèse	:	R. Fernández	Professeur, Université de Rouen

Résumé

Nous introduisons un formalisme de mécanique statistique pour l'étude des processus stochastiques discrets (chaînes) pour lesquels on prouve : (i) des propriétés générales de chaînes extrémales, incluant la trivialité de la tribu queue, les corrélations à courtes portées, la réalisation via des limites à volumes infinis et l'ergodicité, (ii) deux nouvelles conditions pour l'unicité de la chaîne cohérente, (iii) des résultats de perte de mémoire et des propriétés de mélange pour des chaînes sous le régime de Dobrushin. Ces résultats sont complémentaires de ceux existant dans la litérature, et généralisent les résultats markoviens basés sur le coefficient d'ergodicité de Dobrushin. D'autre part, on considére des systèmes à alphabet fini, pouvant avoir une grammaire. On établit des conditions pour qu'une chaîne définisse une mesure de Gibbs et vice-versa. Nos conditions généralisent les résultats d'équivalence bien connus entre les chaînes et les champs markoviens, aussi bien que le caractère gibbsien des processus ayant un taux de continuité exponentiel. Nos arguments sont purement probabilistes; ils sont basés sur l'étude de systèmes réguliers de probabilités conditionnelles (spécifications). De plus, on discute de l'équivalence des critères d'unicité pour les chaînes et les champs et on établit des bornes pour les taux de continuité des systèmes respectifs de probabilités conditionnelles. On prouve également un théorème auxiliaire de (re)construction pour les spécifications en partant de conditionnement sur un site, qui s'applique dans un cadre plus général.

Mots clés : Processus stochastiques discrets, mécanique statistique, mesures de Gibbs, chaînes à liaisons complètes, g-mesures, chaînes de Markov, systèmes dynamiques, opérateur de transfert, critères d'unicité, pertes de mémoire, vitesses de mélange, correspondance Gibbs-processus.

---

Abstract

We introduce a statistical mechanical formalism for the study of discrete-time stochastic processes with which we prove: (i) General properties of extremal chains, including triviality on the tail sigma-algebra, short-range correlations, realization via infinite-volume limits and ergodicity. (ii) Two new sufficient conditions for the uniqueness of the consistent chain. The first one is a transcription of a criterion due to Georgii for one-dimensional Gibbs measures, and the second one corresponds to Dobrushin criterion in statistical mechanics. (iii) Results on loss of memory and mixing properties for chains in the Dobrushin regime. These results are complementary of those existing in the literature, and generalize the Markovian results based on the Dobrushin ergodic coefficient. We discuss the relationship between discrete-time processes (chains) and one-dimensional Gibbs measures. On the other hand, we consider finite-alphabet (finite-spin) systems, possibly with a grammar (exclusion rule). We establish conditions for a stochastic process to define a Gibbs measure and vice versa. Our conditions generalize well known equivalence results between ergodic Markov chains and fields, as well as the known Gibbsian character of processes with exponential continuity rate. Our arguments are purely probabilistic; they are based on the study of regular systems of conditional probabilities (specifications). Furthermore, we discuss the equivalence of uniqueness criteria for chains and fields and we establish bounds for the continuity rates of the respective systems of finite-volume conditional probabilities. As an auxiliary result we prove a (re)construction theorem for specifications starting from single-site conditioning, which applies in a more general setting (general spin space, specifications not necessarily Gibbsian).

Keywords: Discrete time stochastic processes, statistical mechanic, Gibbs measures, chains with complete connections, g-measures, Markov chains, dynamical systems, transfert operator, uniqueness criteria, loss of memory, mixing rates, correspondance Gibbs-processes.

---