MAHÉ Étienne

Laboratoire Raphaël SALEM
UMR 6085 CNRS - Université de Rouen
BP12, Avenue de l'Université
76801 Saint Étienne du Rouvray



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Adresse électronique : etienne.mahe@ac-rouen.fr

Composition du Jury  :

Président	:	D. Volný	Professeur, Université de Rouen
Rapporteurs	:	C. Külske	Professeur, Université de Groningen (Pays-Bas)
		A.C.D. van Enter	Professeur, Université de Groningen
Examinateurs	:	A. Le Ny	Maître de Conférences, Université de Paris-Sud
		D. Pétritis	Professeur, Université de Rennes I
Directeur de Thèse	:	R. Fernández	Professeur, Université de Rouen

Résumé

Un objet mathématique central de mécanique statistique est la spécification. Les spécifications gibbsiennes, définies à partir des interactions avec les poids de Boltzmann, sont caractérisées par deux propriétés: (1) la non nullité, il n'y a pas de configurations interdites, et (2) la quasilocalité, qui correspond à l'insensibilité asymptotique par rapport aux régions très éloignées. L'un des outils théoriques principaux pour l'étude des spécifications gibbsiennes est l'approche variationnelle, qui implique deux fonctions appelées l'énergie libre (ou pression) et l'entropie. Dans cette thèse nous introduisons une condition, appelée ASV (Asymptotiquement Sous-Volumique), qui est plus faible que la quasilocalité mais qui nous permet de retrouver la plupart des résultats gibbsiens. Pour une spécification invariante par translation et ASV, nous démontrons: (1) l'existence de la pression et de la densité d'entropie relative, (2) la validité d'un principe variationnel, et (3) l'existence d'un principe de grandes déviations. Ces résultats dépendent uniquement de la spécification, et pas de la mesure compatible choisie. En particulier, ils demeurent valides même pour une spécification sans mesure compatible. Même si l'application principale de ces résultats est pour les spécifications non-gibbsiennes, on peut les considérer comme une approche alternative pour le cas quasilocal. Contrairement aux méthodes usuelles, notre approche n'utilise pas les interactions. Enfin, nous discutons en détails plusieurs cas de mesures renormalisées --- en particulier la décimation par blocs --- qui n'entrent pas dans le cadre précédent. Cependant, nous pouvons alors développer une théorie comparable.

Mots clés : spécification, quasilocalité, formalisme thermodynamique, principe variationnel, mesures de Gibbs, mesures non-gibbsiennes.

Abstract

A central mathematical object of statistical mechanics is the specification. Gibbsian specifications, defined through an interaction according to Boltzmann prescription, are characterized by two properties: (1) Non-nullness, that is, absence of forbidden configurations, and (2) Quasilocality, which corresponds to asymptotic insensitivity to far-away regions. One of the main theoretical tools for the study of Gibbsian specifications is the variational approach, which involves two functions called free energy (or pressure) and entropy. In this thesis we introduce a condition, called ASV (Asymptotic Sub-Volume), which is weaker than quasilocality but which allows us to prove most of the Gibbsian results. For translation-invariant ASV specifications we prove: (1) existence of the pressure and the relative entropy density, (2) validity of a variational principle, and (3) existence of a large deviations principle. All the relevant magnitudes depend only on the specification, and not on each particular consistent measure. In particular, they remain valid even for specifications without a consistent measure. While the main application of the present results is to non-Gibbsian specifications, it can also be considered an alternative approach for the quasilocal case. Unlike standard treatments, our approach does not resort to interactions. Finally, we discuss in detail many instances of renormalized measures ---in particular block decimation--- that do not fit into our previous framework. Nevertheless, we are able to develop a comparable theory for them as well.

Keywords: specification, quasilocality, thermodynamic formalism, variational principle, Gibbs measures,Non-Gibbsian measures.