LEPELLETIER Patrice

Université de Rouen
Laboratoire Raphaël SALEM
UMR CNRS 6085, site Colbert
76821 Mont-Saint Aignan



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Fax : (33)[0]2 32 10 37 94
Adresse électronique : Patrice.Lepelletier@etu.univ-rouen.fr

Composition du Jury  :

Président	:	S. Pergamenchtchikov	Professeur, Université de Rouen
Rapporteurs	:	W. E. Strawderman	Professeur, Rutgers University
		C. P. Robert	Professeur, Université de Paris Dauphine
Examinateurs	:	A. Blouza	Maître de Conférences, Université de Rouen
		G. Gayraud	Maître de Conférences, Université de Rouen
Directeur de Thèse	:	D. Fourdrinier	Professeur, Université de Rouen

Résumé

Nous considérons l'estimation d'un paramètre de position par des régions de confiance dans le cadre des lois à symétrie sphérique. Pour les régions de confiance usuelles, deux thèmes sont traités : leur domination par les régions de confiance centrées sur la partie positive de l'estimateur de James-Stein et l'estimation de leur degré de confiance conditionnel. Nous établissons un résultat de robustesse en montrant que cette domination est assurée, en présence d'un vecteur résiduel, pour toute loi à symétrie sphérique. Nous abordons ensuite l'estimation du degré de confiance conditionnel de la région de confiance usuelle de la moyenne d'une loi normale p-dimensionnelle et de matrice de covariance l'identité. Nous montrons, de manière formelle, la domination de l'estimateur usuel, le niveau de confiance 1 - a, par un estimateur compétitif 1 - a + s. Nous étendons alors ce résultat aux lois à symétrie sphérique en l'incluant dans le problème de l'estimation d'une fonction du coût quadratique. Cette domination est obtenue au travers d'une inégalité différentielle faisant intervenir le laplacien de s par l'intermédiaire d'une formule de Green. En dernier lieu nous établissons une version de la formule de Green adaptée à la spécificité du problème de l'estimation d'une fonction du coût quadratique.

Mots clés : Région de confiance, Loi à symétrie sphérique, Probabilité de recouvrement, Estimation, Degré de confiance, Niveau de confiance, Approche conditionnelle, Coût quadratique, Sous-harmonicité, Sur-harmonicité, Formule de Green, Formule de Stokes, Espace de Sobolev, Fonction à décroissance rapide.

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Abstract

We consider confidence sets for a location parameter in the framework of spherically symmetric distributions. For usual confidence sets, two topics are tackled: their domination by confidence sets centered at the positive part James-Stein estimator and the estimation of their confidence statement. We establish a robustness result showing that this domination is guaranteed, in presence of a residual vector, for any spherically symmetric distribution. Next we consider the problem of estimating the confidence statement of the usual confidence set of the mean of a p-variate normal distribution with identity covariance matrix. We formally establish the domination over the usual estimator 1 - a, the confidence coefficient, of a competitive estimator 1 - a + s. We extend this result to the spherically symmetric distributions including the previous problem in the problem of estimating a general function of a quadratic function. This domination relies on a partial differential inequality involving the Laplacian of s through a Green formula. Finally we establish an appropriate version of a Green formula needed in the estimation problem of a general function of a quadratic function.

Keywords: Confidence sets, Spherically symmetric distribution, Coverage probability, Estimation, Confidence statement, Confidence coefficient, Conditional inference, Quadratic loss, Subharmonicity, Surharmonicity, Green formula, Stokes formula, Sobolev space.

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