Thèse de LEMAIRE, Anne-Sophie

LEMAIRE Anne-Sophie

Université de Rouen
Analyse et Modèles Stochastiques
UPRES-A CNRS 6085, site Colbert
76821 Mont-Saint Aignan

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THÈSE DE DOCTORAT DE L'UNIVERSITÉ DE ROUEN

soutenue le 03 Novembre 1997

sous la direction de D. Fourdrinier, Professeur à l'Université de Rouen

avec la mention très honorable

Discipline : Mathématiques Appliquées
Spécialité : Statistique Mathématique

Une approche par mélange des lois l₁-symétriques
et estimation d'un paramètre de position

Composition du Jury :

Président : C. Dellacherie Directeur de Recherche, Université de Rouen
Rapporteurs : W.E. Strawderman Professeur, Rutgers University, USA
M.T. Wells Professeur, Cornell University, USA
Directeur de Thèse : D. Fourdrinier Professeur, Université de Rouen
Examinateurs : C.P. Robert Professeur, Université de Rouen

Résumé

Nous introduisons une classe de lois présentant une symétrie par rapport à la norme l₁. Après avoir construit la loi uniforme sur toute l₁-sphère au travers de la mesure d'aire d'une surface paramétrée, nous définissons une loi l₁-symétrique comme étant un mélange de lois uniformes sur les l₁-sphères par rapport à la loi de leur rayon. Nous donnons diverses caractérisations de ces lois et exhibons leurs propriétés essentielles (fonctionnelles caractérisant les lois uniformes sur les l₁- sphères, factorisation au travers de la norme l₁ des densités etc). Certaines de ces lois sont en outre simulées.

Un deuxième objectif est l'estimation du paramètre de position d'une telle loi. Les propriétés de minimaxité et d'admissibilité de l'estimateur usuel sont passées en revue. L'inadmissibilité pour les dimensions de l'espace supérieures ou égales à 3 nous amène à rechercher des classes d'estimateurs compétitifs. Dans un premier temps, l'étude est effectuée dans le cadre de la loi l₁-exponentielle. Nous mettons au point une méthode d'intégration par partie sur les l₁-sphères fondée sur le théorème de Stockes et mettons en évidence qu'une condition suffisante de domination essentielle est 2(2 divg+X.d²g)+||g||² < = 0. La généralité de la méthode permet d'exhiber une grande classe d'estimateurs dominant l'estimateur usuel.

Nous étendons cette problématique à la classe générale des lois l₁-symétriques et nous montrons que les améliorations de l'estimateur usuel peuvent être obtenues au travers d'une notion dite de ``l₁- surharmonicité". Cette dernière propriété se traduit par l'inégalité des moyennes d'une fonction relativement aux lois uniformes sur la l₁-sphère et la l₁-boule. Là aussi, des exemples généraux d'estimateurs améliorés sont donnés.

Mots clés : loi l₁-exponentielle, loi l₁-symétrique, loi de Laplce multidimensionnelle, norme l₁, coût quadratique, minimaxité, admissibilité, l₁-surharmonicité, théorème de co-aire, mesure uniforme sur une sous-variété, fonction de survie, lois marginales, lois conditionnelles, fonctions p-fois monotones.

Abstract

We introduce a class of distributions having a property of symmetry with respect to the l₁-norm. After having constructed the uniform distribution on any l₁-sphere through the area measure of a parameterized surface , we define a l₁-symmetric distribution as a mixture of uniform distributions on the l₁-spheres with respect to the distribution of their radius. We give some characterisations of these distributions and exhibit their main properties (functionals characterising these uniform distributions on the l₁-spheres, the dependance of the densities on the l₁-norm etc). Furthermore, some of this distributions are simulated.

A second goal is the estimation of the location parameter of such a distribution. The minimaxity and admissibility properties of the usual estimator X are reviewed. The inadmissibility of X for dimensions greater than or equal to 3 leads us to seek classes of competitive estimators. First of all, the study is carried out in the framework of the l₁-exponential distribution. We finallize a method of integration by part on the l₁-spheres based on the Stockes theorem and we underline that an essential sufficient domination condition is 2(2 div g+X.d²g)+||g||² < = 0. The generality of the method allows to exhibit a large class of improved estimators.

We extend this study to the general class of l₁-symmetric distributions and we show that improvement over the usual estimator can be obtained through a notion of ``l₁-superharmonicity". This last property is expressed by the inequality of the means of a function with respect to the uniform distributions on the l₁-sphere and the l₁-ball. Here too, general examples of improved estimators are given.

Keywords: l₁-exponential multivariate distribution, l₁-symmetric distribution, multivariate Laplace distribution, l₁-norm, quadratic loss, minimaxity, admissibily, l₁-superharmonicity, Co-area theorem, uniform measure on a manifold, survival function, marginal distributions, conditional distributions, p-times monotone functions.


Discipline	: Mathématiques Appliquées
Spécialité	: Statistique Mathématique


Président	:	C. Dellacherie	Directeur de Recherche, Université de Rouen
Rapporteurs	:	W.E. Strawderman	Professeur, Rutgers University, USA
		M.T. Wells	Professeur, Cornell University, USA
Directeur de Thèse	:	D. Fourdrinier	Professeur, Université de Rouen
Examinateurs	:	C.P. Robert	Professeur, Université de Rouen