Cette thèse comprend trois parties. Dans la première, nous étudions le comportement asymptotique d'un processus de ``zero range" symétrique en volume fini dans un environnement aléatoire. Nous démontrons que, pour presque tout environnement, la mesure empirique converge en probabilité vers l'unique solution faible d'une équation de diffusion non linéaire indépendante de l'environnement.
Dans la seconde partie, réalisée en collaboration avec G. Gielis et C. Landim, nous abordons le problème des fluctuations à l'équilibre pour le processus de zero range avec environnement aléatoire. Il s'agit d'obtenir un résultat de type théorème central limite pour le champ de densité, autrement dit de montrer que le champ des fluctuations de la densité converge en loi vers un champ gaussien généralisé. Nous établissons le principe de Boltzmann-Gibbs et la convergence faible du champ de fluctuations de la densité du processus de zero range en environnement aléatoire vers un processus d'Ornstein-Uhlenbeck généralisé dont l'évolution est décrite par linéarisation de l'équation hydrodynamique autour d'une densité fixée en présence d'un bruit blanc.
Dans la dernière partie, réalisée en collaboration avec O. Benois et C. Landim, nous donnons une nouvelle interprétation des corrections de Navier-Stokes à l'équation hydrodynamique d'un système asymétrique de particules en interaction. Nous considérons un système dont la mesure initiale est associée à un profil constant dans la direction de la dérive. Nous montrons que, sous une renormalisation diffusive, le comportement du processus est décrit par une équation parabolique non linéaire dont le coefficient de diffusion coï ncide avec le coefficient de diffusion de l'équation hydrodynamique de la version symétrique du processus.
Mots clés :
Processus de zero range, Limite hydrodynamique, Environement aléatoire,
Théorème centrale limite, Principe de Boltzmann-Gibbs, Entropie relative, Corréction de Navier-Stocks.
Abstract
This thesis includes three parts. In the first one, we study the asymptotic behavior of symmetric zero range process on a finite lattice with random rates. We prove that, for almost all environment, the empirical distribution of particles converges in probability to the weak solution of a non-linear diffusion equation which does not depend on the environment.
In the second part, realized with G. Gielis and C. Landim, we study the equilibrium fluctuation problem for zero range processes in random environment. It consists in proving the central limit theorem for the density field i.e. to prove that the density field converges in distribution to a generalized Gaussian field. We establish the Boltzmann-Gibbs principle and the weak convergence of the density field converges weakly to a generalized Ornstein-Uhlenbeck process whose evolution is described by the linearization of the hydrodynamic equation around a fixed density with a white noise added.
In the last part, realized with O. Benois and C. Landim, we investigate a new interpretation for the Navier-Stokes corrections to the hydrodynamic equation of asymmetric interacting particle systems. We consider a system that starts from a measure associated to a profile that is constant along the drift direction. We show that under diffusive scaling the macroscopic behaviour of the process is described by a nonlinear parabolic equation whose diffusion coefficient coincides with the one of the hydrodynamic equation of the symmetric version of the process.
Keywords:
Zero range processes, Hydrodynamical limit, Random environment,
central limit theorem, Boltzmann-Gibbs principle, Relative entropy,
Navier-Stokes corrections.
