EL MACHKOURI Mohamed

Université de Rouen
Laboratoire Raphaël SALEM
UMR CNRS 6085, site Colbert
76821 Mont-Saint Aignan



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Adresse électronique : mohamed.elmachkouri@univ-rouen.fr

Composition du Jury  :

Président	:	C. Dellacherie	Directeur de recherche CNRS, Université de Rouen
Rapporteurs	:	D. Bosq	Professeur, Université Paris 6
		H. Dehling	Professeur, Ruhr-Universitat Bochum
Examinateurs	:	J. Dedecker	Maître de conférences, Université Paris 6
		Y. Derriennic	Professeur, Université de Brest
		D. Fourdrinier	Professeur, Université de Rouen
		E. Lesigne	Professeur, Université de Tours
		B. Schmitt	Professeur, Université de Dijon
Directeur de Thèse	:	D. Volný	Professeur, Université de Rouen

Résumé

Cette thèse est consacrée au comportement asymptotique de champs et de suites stationnaires de variables aléatoires réelles. Dans le premier chapitre, nous mettons en évidence que le principe d'invariance de Dedecker (2001) pour des processus de sommes partielles issus d'un champ stationnaire (X_i)_{{i dans Z^d}} de variables aléatoires réelles bornées et indexées par les ensembles d'une classe A n'a plus nécessairement lieu si on considère des champs de variables aléatoires qui sont seulement p-intégrables. Nous montrons également que le principe d'invariance pour les champs de variables aléatoires i.i.d. de carré intégrable établi par Bass (1985) et indépendamment Alexander et Pyke (1986) peut ne pas avoir lieu si on considère des classes d'ensembles qui satisfont seulement la condition d'entropie métrique sans inclusion de Dudley (1973).

Néanmoins, si on exige des moments exponentiels finis sur les variables aléatoires (X_i)_{{i dans Z^d}}, nous établissons dans le deuxième chapitre des inégalités de type Kahane-Khintchine dans des espaces d'Orlicz induits par des fonctions de Young exponentielles qui permettent via un argument de chaînage classique d'obtenir un nouveau principe d'invariance.

Dans le troisième chapitre, nous montrons que les conditions nécessaires et suffisantes de Gnedenko (1948, 1954) pour qu'une suite de variables aléatoires réelles indépendantes satisfasse le théorème limite local ne sont pas suffisantes si on considère des accroissements d'une martingale. Nous montrons également que la vitesse de convergence dans le théorème limite central de Billingsley-Ibragimov pour les accroissements d'une martingale peut être arbitrairement lente.

Enfin, nous donnons dans le quatrième chapitre une autre application des inégalités de Kahane-Khintchine au travers de l'étude d'un modèle de régression non paramétrique lorsque les erreurs sont données par un champ (Y_i)_{{i dans Z^d}} de variables aléatoires réelles dépendantes.

Mots clés : Champs aléatoires, accroissements d'une martingale, théorème limite central, théorème limite local, principe d'invariance, entropie métrique, système dynamique ergodique, mélange, espaces de Orlicz, inégalités de Kahane-Khintchine, inégalités exponentielles, vitesse de convergence, régression non paramétrique, estimateur à noyau.

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Abstract

This thesis is devoted to the asymptotic properties of fields and sequences of identically distributed real random variables. In the first chapter, we show that the invariance principle by Dedecker (2001) for the smoothed partial sum process of a stationary field (X_i)_{{i in Z^d}} of bounded real random variables and indexed by sets of a class A does not hold if the random variables are only p-integrable. We also show that the invariance principle by Bass (1985) and Alexander and Pyke (1986) for i.i.d. square integrable random fields does not hold if one considers classes of sets which satisfy only the metric entropy condition without bracketing by Dudley (1973).

However, in the second chapter, if the random variables (X_i)_{{i in Z^d}} have finite exponential moments, we establish new Kahane-Khintchine inequalities in Orlicz spaces induced by exponential Young functions. Both these inequalities and a classical chaining argument yield a new invariance principle.

In the third chapter, we are interested in the local and central limit theorems for martingale difference sequences. We prove that the assumptions by Gnedenko (1948, 1954) which ensure the local limit theorem for independent sequences are not sufficient for martingale differences and the speed of convergence in the Billingsley-Ibragimov central limit theorem can be arbitrarily slow.

Finally, we study a non parametric regression model when the errors are given by a field (Y_i)_{{i in Z^d}} of dependent random variables.

Keywords: Random fields, martingale difference sequence, central limit theorem, local limit theorem, invariance principle, metric entropy, ergodic dynamical system, mixing, Orlicz spaces, Kahane-Khintchine inequalities, exponential inequalities, speed of convergence, nonparametric regression, Kernel estimator.

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