Cette thèse étudie la positivité de fonctionnelles bilinéaires définies dans des espaces
de Sobolev et utilisant des produits scalaires classiques, à savoir ceux liés aux poly- nômes orthogonaux de Hermite, Laguerre et Jacobi dans le cas continu et ceux liés aux polynômes orthogonaux de Charlier et Meixner dans le cas discret. Nous donnons les domaines D - en fonction de certains coefficients - dans lesquels ces fonctionnelles bilinéaires sont des produits scalaires dans des espaces de Sobolev, ainsi que des propriétés sur ces domaines et sur les polynômes orthogonaux formels, dits de Sobolev par rapport à ces produits scalaires.
Dans les cas Hermite, Charlier et apparentés, le domaine D est donné au moyen d'équations explicites qui définissent sa frontière. Par contre, dans les cas Laguerre, Jacobi et Meixner qui sont plus compliqués, le domaine D est défini comme une limite d'une hypersurface algébrique. D'autre part, dans le cas d'une dérivation, nous obtenons de nouvelles inégalités de Markov-Bernstein.
Nous traitons aussi la positivité de fonctionnelles bilinéaires définies à partir de paires cohérentes et paires D-cohérentes de fonctionnelles linéaires définies positives.
Nous espérons que ce travail trouvera un champ d'applications dans le cadre de l'approximation et la résolution spectrales des équations aux dérivées partielles.
Mots clés : Polynômes orthogonaux formels ; Polynômes de Hermite, Laguerre, Gegenbauer, Jacobi, Charlier, Meixner ; Polynômes de Sobolev-Hermite, Sobolev-Laguerre, Sobolev-Gegenbauer, Sobolev-Jacobi, Sobolev-Charlier, Sobolev-Meixner ; Produit scalaire ; Iné- galités de Markov-Bernstein ; Zéros de polynômes ; Paire cohérente , paire D-cohérente de fonctionnelles.
Abstract
This thesis studies the positivity of some bilinear functionals defined on Sobolev spaces and using positive definite classical inner products, that is to say those linked with Hermite, Laguerre and Jacobi orthogonal polynomials in the continuous case and those linked with Charlier and Meixner orthogonal polynomials in the discrete case. We give the domains D - according to some coefficients - in which these bilinear functionals are positive definite inner products in Sobolev spaces, and we give some properties about these domains and about the so-called formal Sobolev orthogonal polynomials with respect these inner products.
In the Hermite, Charlier and closely connected cases, the domain D is given by means of explicit equations which define its boundary. On the other hand, in the Laguerre, Jacobi and Meixner cases which are more complicated, the domain D is defined as a limit of an algebraic hypersurface. In the case of one derivative, we obtain some new Markov-Bernstein inequalities.
We also study the positivity of bilinear functionals defined from coherent pairs and D-coherent pairs of positive definite linear functionals.
We hope that this work find a field of application in spectral approximation and resolution of partial differential equations.
Keywords:
Formal orthogonal polynomials; Hermite, Laguerre,
Gegenbauer, Jacobi, Charlier, Meixner polynomials; Hermite-Sobolev, Laguerre-Sobolev, Gegenbauer-Sobolev, Jacobi-Sobolev, Charlier-Sobolev,
Meixner-Sobolev polynomials; Definite inner product; Markov-Bernstein inequalities; Zeros of polynomials; Coherent pair, D-coherent pair of functionals.
