Composition du Jury  :

M. Derridj, Professeur, Univ. de Rouen	:	Président
D. Cioranescu, Directeur de recherche CNRS, Univ. Paris 6	:	Rapporteur
R. Lipton, Professeur, Worcester Polytechnic Institute, USA	:	Rapporteur
P. Donato, Professeur, Univ. de Rouen	:	Directeur de thèse
C. Conca, Professeur, Univ. de Chile	:	Examinateur
T. Lévy, Professeur, Univ. Paris 6	:	Examinateur
D. Blanchard, Professeur, Univ. de Rouen	:	Examinateur

Résumé

Cette thèse est consacrée à l'étude de quelques problèmes d'homogénéisation dans des ouverts perforés pour des problèmes linéaires de diffusion et d'élasticité. Le travail que nous présentons comporte deux parties.

Dans la première partie, on s'intéresse à l'étude du comportement asymptotique de la solution d'un problème de diffusion avec des conditions de Neumann non-homogènes. Nous démontrons que l'étude de ce problème peut être ramenée à celle d'un problème de H⁰-convergence et de convergence d'une distribution n^e concentrée sur le bord des trous. Nous appliquons cette propriété au cas d'un domaine perforé avec double périodicité pour lequel on décrit explicitement la limite de n^e. On étudie ensuite, de façon directe, certains cas où l'on ne peut pas appliquer cette propriété.

Dans la deuxième partie, on introduit une notion de H⁰-convergence pour le système de l'élasticité linéaire (H_e⁰-convergence), pour laquelle on donne des résultats de localité, de compacité, et de correcteurs. On étudie ensuite, en utilisant la convergence à 3-échelles, la H_e⁰-convergence dans le cas d'un domaine doublement perforé. Analoguement à ce qui a été fait dans la première partie, on ramène l'étude du cas de conditions de tractions non-homogènes, à un problème de H_e⁰-convergence et de convergence de n^e.

Mots clés : Homogénéisation, diffusion, élasticité, H⁰-convergence, convergence à 3-échelles.

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Abstract

This thesis is devoded to the study of some homogenization problems in perforated domains for diffusion and linear elasticity problems. The present work consist of two parts.

In the first part, we study the asymptotic behaviour of the solution of a non-homogeneous Neumann diffusion problem. We show that the study of this problem can be reduced to a H⁰-convergence problem and to a convergence of a distribution n^e concentrated on the boundary of the holes. We apply this property to the case of a perforated domain with double periodicity for which we explicitly describe the limit of n^e. We also study some cases where this property does not apply.

In the second part, we introduce the notion of H⁰-convergence for the linear system of elasticity (H_e⁰-convergence), for which we proove locality, compactness and correctors results. Then, we study, by using the 3-scale convergence, the H_e⁰-convergence in the case of perforated domain with double periodicity. In the same order of ideas of the first part, we reduce the study of the case of non-homogeneous tractions conditions to a H_e⁰-convergence problem and to the study of n^e.

Keywords: Homogenization, diffusion, elasticity, H⁰-convergence, 3-scale convergence.

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