Les transformations d'Ornstein sont au coeur de ce travail.
Ornstein les a introduites en
1971 dans un article fondateur de la notion de rang un.
La présentation ainsi que l'étude des propriétés ergodiques de ces
transformations sont l'objet du premier chapitre, une version complète en est
parue dans le livre de la théorie spectrale de M. G. Nadkarni, une version
courte est à paraître dans Canadian Mathematical Bulletin.
Le second chapitre est constitué d'un article à paraître dans Israel
Journal of Mathematics, on y établit par voie spectrale une classification
presque sûre de ces transformations, en adaptant et en généralisant
les méthodes d'analyse harmonique de J. Bourgain.
Au troisième chapitre, on montre via les techniques du théorème de
Wiener-Wintner qu'une classe de transformations d'Ornstein, distincte de la
classe mélangeante d'Ornstein, est constituée de transformations presque
sûrement faiblement mélangeante, ce travail est
lié au problème du faible mélange des échanges d'intervalles.
Finalement, au quatrième chapitre, on montre que les types spectraux des transformations d'Ornstein
sont presque sûrement singuliers par rapport à leurs
translatés par des rationnels, on en déduit que
la multiplicité spectrale des puissances de ces transformations est presque
sûrement un, ce qui entraîne que l'ensemble des systèmes de
rang fini contient des transformations mélan-geantes à spectre simple et ceci est
bien évidemment lié à une vieille question attribuée à Banach sur l'existence
d'un système dynamique à spectre de Lebesgue simple.
Mots clés :
Transformations d'Ornstein,
Spectre de Lebesgue, Spectre simple,
Rang fini , mélange, mélange faible, échanges d'intervalles.
Abstract
The main topic of this work are the Ornstein transformations. Ornstein introduced them in his basic paper of rank one transformations written in 1971.
The subject of the first chapter is the description and the study of ergodics properties of these transformations, a complete version of it is appeared in the book by M. G. Nadkarni : Spectral theory of dynamical systems (1998). A short version will appear in Canadian Mathematical Bulletin.
In the second chapter, the almost sure classification of the Ornstein transformations is given. The result was achieved by using a generalization of Bourgain's techniques. The content of the second chapter will be published in the paper E. H. El Abdalaoui, La singularité mutuelle presque sûre du spectre des transformations d'Ornstein, to appear in Israel Journal of Mathematics.
In the third chapter, it is proved that there is a class of Ornstein transformations, distinct from the Ornstein mixing class, which are almost surely weak mixing. This result is connected with the well known problem of the weak mixing of interval exchanges transformations. In the proofs, the techniques of Wiener-Wintner theorem were used.
Finally, in the chapter four, it is shown that almost surely, the spectral types of Ornstein transformations are singular with respect to their rationals translations, we deduce that the powers of these transformations have almost surely a simple spectrum hence the set of finite rank mixing transformations contains transformations with simple spectrum. This result is related to Banach's problem on the existence of dynamical system with simple Lebesgue spectrum.
Keywords:
Ornstein transformations, Simple spectrum, Lebesgue spectrum, finite rank,
mixing, weak mixing, interval exchanges.
