DURIEU Olivier

Laboratoire Raphaël SALEM
UMR 6085 CNRS - Université de Rouen
BP12, Avenue de l'Université
76801 Saint étienne du Rouvray



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Adresse électronique : olivier.durieu@univ-rouen.fr

Composition du Jury  :

Président	:	C. Dellacherie	CNRS-Université de Rouen
Rapporteurs	:	P. Collet	CNRS-Ecole Polytechnique
		J. Dedecker	Université Pierre et Marie Curie (Paris)
		M. Woodroofe	University of Michigan
Examinateurs	:	J.-P. Conze	Université de Rennes
		Y. Davydov	Université de Lille
		H. Dehling	Ruhr-Universität Bochum
		F. Merlevède	Université de Marne-la-vallée
		T. de la Rue	CNRS-Université de Rouen
Directeurs de Thèse	:	D. Volny	Université de Rouen
		P. Jouan	Université de Rouen

Résumé

(Comportements Asymptotiques des Processus Stationnaires et des Processus Empiriques dans des Systèmes Dynamiques)
Cette thèse se consacre à l'étude de théorèmes limites pour des suites de variables aléatoires stationnaires (en particulier issues d'un système dynamique). Nous nous concentrons sur deux résultats importants, notamment par leurs applications en statistiques. Nous étudions tout d'abord le comportement limite des sommes de variables aléatoires, plus précisément le théorème limite central et son principe d'invariance. Ensuite nous considérons le principe d'invariance pour les processus empiriques. Dans le cadre du principe d'invariance faible de Donsker, plusieurs résultats s'obtiennent au travers d'approximations par des martingales et plus généralement par des critères projectifs. Nous comparons quatre de ces critères et montrons leur indépendance mutuelle. Les critères étudiés sont la décomposition martingale-cobord (Gordin, 1969), la condition de Hannan (1979), le critère de Dedecker et Rio (2000) et la condition de Maxwell et Woodroofe (2000). En ce qui concerne le comportement asymptotique des processus empiriques, nous établissons un principe d'invariance dans le cas des automorphismes du tore. Cela permet de sortir du cadre hyperbolique connu et d'obtenir un premier résultat pour une transformation partiellement hyperbolique. Nous proposons également une nouvelle approche, basée sur des méthodes d'opérateurs, permettant d'établir un principe d'invariance empirique. Cette méthode s'applique en particulier aux cas où l'on a de bonnes propriétés pour une classe de fonctions ne contenant pas les fonctions indicatrices. C'est en particulier le cas de certains systèmes dynamiques dont l'opérateur de transfert admet un trou spectral. En dernier lieu, suivant une question de Burton et Denker (1987), nous nous intéressons à la classe des processus pour lesquels le théorème limite central a lieu. En référence au cadre des processus empiriques, nous étudions en particulier les suites de sommes partielles des itérées d'une fonction indicatrice.

Mots clés : Processus stationnaires; Théorème limite central; Principe d'invariance faible; Approximations martingale; Critères projectifs; Systèmes dynamiques; Distribution empirique; Processus empiriques; Inégalités de moment; Partielle hyperbolicité; Mélange multiple; Généricité; Fonctions de Morse; Chaînes de Markov; Forte ergodicité; Sommes de variables aléatoires; Théorème ergodique.

Abstract

(Asymptotic Behaviors of Stationary Processes and Empirical Processes in Dynamical Systems)
The aim of this thesis is the study of limit theorems for stationary sequences of random variables (in particular, from dynamical system). We concentrate on two results which are important by their applications in statistics. We first study the asymptotique behavior of sums of random variables, precisely the central limit theorem and its invariance principles. We also consider the invariance principle of empirical processes. For the Donsker's weak invariance principle, many results can be obtained by martingale approximations and more generaly by projective criteria. We compare four of these criteria and we show that they are independent of each other. These criteria are the martingale-coboundary decomposition (Gordin, 1969), the Hannan condition (1979), the Dedecker and Rio criterion (2000) and the Maxwell-Woodroofe condition (2000). Concerning the asympotic behavior of empirical processes, we establish an invariance principle in the case of toral automorphisms. This permits to generalize the known hyperbolic case and to find a first result for a partially hyperbolic transformation. We also propose a new approach, based on operator techniques, for establishing an invariance principle. This technique is well adapted to cases when we only have good properties for a class of functions not containing the indicators. In particular, this is the case for some dynamical systems for which the transfer operator admits a spectral gap. At the end, following a question by Burton and Denker (1987), we are interested in the class of processes for which the central limit theorem holds. To refer to the empirical processes case, we study in particular the sequences of partial sums of iterates of indicator functions.

Keywords: Stationary processes; Central limit theorem; Weak invariance principle; Martingale approximation; Projective criterion; Dynamical systems; Empirical distribution; Empirical processes; Partial hyperbolicity; Multiple mixing; Morse function; Genericity; Moment inequalities; Markov chains; Strong ergodicity; Ergodic theorem; Sums of random variables.