Composition du Jury  :

Président	:	J. de Sam Lazaro	Professeur, Université de Rouen
Rapporteurs	:	J. Seidler	Professeur, Université de Prague
		A. Benassi	Professeur à l'Université de Clermont-Ferrand
Directeur de Thèse	:	Halim Doss	Professeur, Université de Paris Dauphine
Examinateurs	:	C. Dellacherie	Directeur de Recherche CNRS, Université de Rouen
		A. S. Ustunel	Professeur, ENS des télécommunications de Paris

Résumé

Dans cet exposé, nous étudions dans un premier temps le comportement asymptotique lorsque l'intervalle d'observation devient infiniment grand d'une famille de processus de diffusions à valeurs dans un espace de Hilbert séparable H, solutions des équations différentielles stochastiques suivantes:

(Ee)       ì í î dXte = [A(Xte)+F(Xte)]dt+e1/2 S(Xte)dW(t) X0e = x Î H.

Nous prouvons, grâce à un Théorème de C. Sunyach, pour chaque valeur du paramètre e, l'existence et l'unicité d'une mesure invariante correspondant à la solution X^e considerée. Cette methode nous a fourni une inégalité qui assure la convergence étroite de la famille des mesures invariantes vers la masse de Dirac concentrée à l'origine. Ce dernier point nous dit, tout borélien A de H, dont l'adhérence ne contient pas l'origine, est de mesure limite nulle. Ainsi on s'est posé la question de savoir à quelle vitesse cette convergence a-t-elle lieu? Nous avons trouvé que la convergence a lieu à une vitesse exponentielle, ceci grace aux trois propriétés suivantes:
· Propriété1 L'uniformité du principe de grandes déviations de la famille
(X^e, e > 0), qui a été momtrée par S. Peszat.

· Propriété2 La formule suivante caractérisant la mesure invariante associée à un processus X^e:

ge(G) = ó õ H  Px(Xe(t) Î G)ge(dx).

· Propriété3 L'inégalité exponentielle suivante:

Pour tout L > 0, il existe R(L) tel que

limsup e® 0  elnge(x; |x| ³ R(L)) £ -L.

Dans le dernier chapitre de cette thèse, nous avons étendu les résultats précédents dans un cas particulier, en prenant comme espace d'état du processus, l'espace L²([0,1]), cela nous a permis de montrer d'une part que pour chaque e > 0, t > 0, X^e Î C₀^b([0,1]), pour tout b < ¹/₂, d'autre part en applicant un lemme classique dû à Garcia-Rumsey-Rodemich de montrer que les supports des lois des processus X^e, sont des compacts particuliers de C₀^b([0,1]), car des boules fermées en normes Holdériennes. Enfin, en utilisant un lemme de D. Ioffe, et les résultats des chapitres précédents, nous établissons un principe de grandes déviations de la famille des mesures invariantes dans C₀([0,1]).

Mots clés : "Mild solution", mesures invariantes, principe de grandes déviations, processus d'évolution, inégalité exponentielle, espaces Holderiens.

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Abstract

In the first two chapters of this thesis, we first investigate the long time behavior of a family of diffusion processes depending on small positive parameter e > 0, solution in an infinite dimensional Hilbert space of the following differential equations:

(Ee)       ì í î dXte = [A(Xte)+F(Xte)]dt+e1/2 S(Xte)dW(t) X0e = x Î H.

Say using a theorem of C. Sunyach, we show that for each member of the above family there corresponds one and only one invariant measure. Our method yields an inequality which ensures the existence of second order moments of each invariant measure. From the quoted inequality, we were able to establish the weak convergence as e goes to zero of the family of invariant measures to the Dirac measure concentrated at the origin.

Second, we establish a large deviation principle for the family of invariant measures owing on the three following facts:

· Fact1 Uniformity with respect to any initial bounded position of the large deviation principle of the family X^e proven by S. Peszat.

· Fact2 The following characteristic formula for the invariant measure associated to process X^e,

ge(G) = ó õ H  Px(Xe(t) Î G)ge(dx).

· Fact3 The following exponential inequality:

For any L > 0, there exists R(L) such that

limsup e® 0  elnge(x; |x| ³ R(L)) £ -L.

In the last chapter of this thesis, we make a refinement of the results obtained in the firts, by investigating the real support of the laws of the diffusion processes, in a rather particular case by taking, as state space of the diffusion processes, the usual Hilbert space of square integrable functions on the unit interval of the real line. We obtain, the following result for each e > 0, t > 0, X^e(t) Î C₀^b([0,1]), for any 0 < b < ¹/₂. Once again by the classical Garcia- Rumsey-Rodemich, we obtain an exponential inequality which tells us, the laws of the processes X^e, are supported by a family of nice compact subsets of the space of continuous functions on [0,1], vanishing at the boundaries.

Keywords: Mild solution, large deviation principle, stochastic evolution processes, exponential inequality, invariant measures, Holderian spaces.

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