On étudie ici le problème de Cauchy pour des équations d'évolution
non autonomes avec second membre gouvernées par une famille d'opérateurs
multivoques opérant dans un espace de Banach réel quelconque.
Après avoir défini une notion de contrôle de la famille d'opérateurs,
notion étendant la situation classique d'accrétivité, nous donnons des
théorèmes d'unicité puis d'existence-unicité de bonnes solutions de
ce problème de Cauchy. Ces théorèmes étendront des résultats
classiques ou récents et notamment les théorèmes de Hille-Yosida et de
Crandall-Liggett, et transposeront à certaines classes de bonnes solutions
des théorèmes fondamentaux d'unicité de solutions fortes. Pour ces
questions, un concept adapté de solution intégrale jouera un rôle
crucial.
La dernière partie de cette thèse est consacrée à des généralisations
du théorème de Peano concernant les solutions fortes du problème de
Cauchy évoqué plus haut, où un contrôle différentiel de la mesure
de non compacité de Kuratowski prendra la place des contrôle différentiels
du crochet utilisés dans les parties précédentes. Des prolongements de
ce travail sont annoncés dans la conclusion et paraîtront ultérieurement.
Mots clés :
Accrétivité. Bonne solution. Conditions d'Ascoli-Arzelà. Condition
tangentielle d'image. Contrôle. Contrôle différentiel. Contrôle
d'Osgood. Famille approximante discrète (F.A.D.). Solution forte. Solution
intégrale.
Abstract
The Cauchy problem for non autonomous evolution equations with second member
governed by a family of multivalued operators is studied here for any real
Banach space.
Having defined a control of the family of operators, which extends classical
accretivity, theorems of unicity and existence-unicity of mild solutions of
this Cauchy problem are given. These theorems extend classical and recent
results, and notably the theorem of Hille-Yosida and of Crandall-Liggett, and
transpose certain strong solution fundamental theorems of unicity to mild
solution theorems. For these questions, a modified concept of integral
solutions plays an all-important rôle.
The last part of the theses is devoted to generalisations of the theorem of
Peano concerning the strong solution to the Cauchy problem referred to above,
where a differential control of Kuratowski's measure of noncompactness replaces
differential controls of brackets used in the preceding sections.
Further word which will be published later is referred to in the conclusion.
Keywords:
