Thèse de BUNOUF PIerre

BUNOUF Pierre

Université de Rouen
Laboratoire de Mathématiques Raphaêl Salem
UMR CNRS 6085, Site du Madrillet
76801 SAINT-ÉTIENNE DU ROUVRAY

THÈSE DE DOCTORAT DE L'UNIVERSITÉ DE ROUEN

soutenue le 1er mars 2006

sous la direction de B. LECOUTRE, Directeur de Recherche CNRS

avec la mention très honorable

Discipline : Mathématiques Appliquées
Spécialité : Statistique

Lois bayésiennes a priori dans un plan binomial séquentiel

Composition du Jury :

Président : Dominique Fourdrinier Professeur, Université de Rouen
Rapporteurs : Rodolfo de Cristofaro Professeur, Université de Florence (Italie)
Christian Robert Professeur, Université de Paris IX Dauphine
Directeur de Thèse : Bruno Lecoutre Directeur de Recherche CNRS, Université de Rouen
Examinateurs : Jean-Marie Grouin Maître de Conférences, Université de Rouen

Résumé

La reformulation du théorème de Bayes par R. de Cristofaro permet d'intégrer l'information sur le plan expérimental dans la loi a priori. En acceptant de transgresser les principes de vraisemblance et de la règle d'arrêt, un nouveau cadre théorique permet d'aborder le problème de la séquentialité dans l'inférence bayésienne. En considérant que l'information sur le plan expérimental est contenue dans l'information de Fisher, on dérive une famille de lois a priori à partir d'une vraisemblance directement associée à l'échantillonnage. Le cas de l'évaluation d'une proportion dans le contexte d'échantillonnages binomiaux successifs conduit à considérer la loi Bêta-J. L'étude sur plusieurs plans séquentiels permet d'établir que l' "a priori de Jeffreys corrigé" compense le biais induit sur la proportion observée. Une application dans l'estimation ponctuelle montre le lien entre le paramétrage des lois Bêta-J et Bêta dans l'échantillonnage fixe. La moyenne et le mode des lois à posteriori obtenues présentent des propriétés fréquentistes remarquables. De même, l'intervalle de Jeffreys corrigé montre un taux de recouvrement optimal car la correction vient compenser l'effet de la règle d'arrêt sur les bornes. Enfin, une procédure de test, dont les erreurs s'interprètent à la fois en terme de probabilité bayésienne de l'hypothèse et de risques fréquentistes, est construite avec une règle d'arrêt et de rejet de H0 fondée sur une valeur limite du facteur de Bayes. On montre comment l'a priori de Jeffreys corrigé compense le rapport des évidences et garantit l'unicité des solutions, y compris lorsque l'hypothèse nulle est composite.

Mots clés : Principe de vraisemblance, règle d'arrêt, plan binomial séquentiel, information de Fisher, inférence bayésienne, propriétés fréquentistes, principe de translation de la vraisemblance, principe d'impartialité du plan expérimental, règle de Jeffreys, estimation ponctuelle, intervalle de confiance, test d'hypothèse, facteur de Bayes, principe d'égalité aux bornes.

Abstract

Bayesian priors in sequential binomial design. The reformulation by R. de Cristofaro of the Bayes theorem allows to integrate the information on the experimental design in the prior distribution. In accepting to transgress the Likelihood and Stopping Rules principles, a new framework allows to move on the issue of sequenciality in the Bayesian inference. Considering that the information on the design is contained in the Fisher information, a new family of priors is derived from a likelihood directly related to the sampling rule. The case of the study of a proportion in the sequential context of successive Binomial samplings leads to consider the Beta-J distribution. The study on several sequential designs allows to state that the "corrected Jeffreys prior" compensates the bias induced on the observed proportion. An application in the estimation shows the relationship between the parameters of the Beta-J and Beta distributions in the fixed sampling. The mean and mode of the posterior distributions show remarkable frequentist properties. As well, the corrected Jeffreys interval has an optimal covering rates as the correction compensates the effect of stopping rule on the limits. Last, a test procedure, whose the errors are interpreted in terms of both Bayesian probabilities of hypotheses and frequentist risks, is designed with a rule for stopping and rejecting H0 based on a limit value of the Bayes factor. It is shown how the corrected Jeffreys prior compensates the ratio of evidences and guarantees the unicity of solutions, even when the null hypothesis is composite.

Keywords: Likelihood principle, stopping rule, sequential binomial design, Fisher information, Bayesian inference, frequentist properties, likelihood translation principle, impartiality of the design principle, Jeffreys rule, point estimation, confidence interval, hypothesis test, Bayes factor, equality at bounds principle.


Discipline	: Mathématiques Appliquées
Spécialité	: Statistique


Président	:	Dominique Fourdrinier	Professeur, Université de Rouen
Rapporteurs	:	Rodolfo de Cristofaro	Professeur, Université de Florence (Italie)
		Christian Robert	Professeur, Université de Paris IX Dauphine
Directeur de Thèse	:	Bruno Lecoutre	Directeur de Recherche CNRS, Université de Rouen
Examinateurs	:	Jean-Marie Grouin	Maître de Conférences, Université de Rouen