BRUYÈRE Nicolas

Laboratoire Raphaël SALEM
UMR 6085 CNRS - Université de Rouen
BP12, Avenue de l'Université
76801 Saint étienne du Rouvray



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Fax : (33)[0]2 32 95 52 86
Adresse électronique : nicolas.bruyere@univ-rouen.fr

Composition du Jury  :

Président	:	M. Chipot	Professeur, Université de Zürich
Rapporteurs	:	M. Chipot	Professeur, Université de Zürich
		J.I. Díaz	Professeur, Université de Madrid
Examinateurs	:	C. Bernardi	Directeur de recherche CNRS, Paris VI
		M.F. Bidaut-Véron	Professeur, Université de Tours
		N. Mir	Professeur, Université de Rouen
Directeurs de Thèse	:	D. Blanchard	Professeur, Université de Rouen
		O. Guibé	Maître de Conférences, Université de Rouen

Résumé

(Comportement asymptotique de problèmes posés dans des cylindres. Problèmes d'unicité pour les systèmes de Boussinesq) La thèse est composée de deux parties indépendantes. Dans la première partie, on étudie le comportement asymptotique de problèmes elliptiques et paraboliques à données L¹+W^-1,p' (respectivement L¹+L^p'( W^-1,p') dans le cas parabolique), dans des domaines devenant infiniment grands. En utilisant le cadre des solutions renormalisées et les résultats de régularité des solutions pour de telles données, on prouve, sous certaines hypothèses structurelles sur les variables d'espace, des résultats de convergence dans les espaces de régularité des solutions. Dans la seconde partie, dans le cas de la dimension 2, on étudie des systèmes de type Boussinesq. Ces systèmes dérivent de modèles de mécanique des fluides et consistent en un couplage des équations de Navier-Stokes incompressibles et de l'équation de la chaleur. On s'intéresse essentiellement aux questions d'unicité de la solution, particulièrement délicate à prouver du fait du couplage très non linéaire entre les équations. On travaille dans le cadre des solutions faibles pour les équations de Navier-Stokes et dans le cadre des solutions renormalisées pour des problèmes paraboliques pour l'équation de la chaleur. On établit tout d'abord des résultats de régularité pour ces équations puis on montre plusieurs résultats d'existence et d'unicité de la solution du système pour de petites données.

Mots clés : Problèmes elliptiques et paraboliques, comportement asymptotique dans des cylindres infinis, solutions renormalisées, systèmes de Boussinesq, unicité.

Abstract

(Asymptotic behaviour of problems posed in cylinders. Uniqueness problems for Boussinesq type systems.) The thesis is divided in two independent parts. In the first part, we investigate the asymptotic behaviour of elliptic and parabolic problems with L¹+W^-1,p' data (respectively with L¹+L^p'( W^-1,p') In the second part, in the 2-dimensional case, we study Boussinesq type systems. These systems derive from fluid mechanics models and couple incompressible Navier-Stokes equations and heat equation. We focus our attention on studying the uniqueness of the solution, which is intricate because of the very nonlinear coupling of the equations. We consider weak solutions for the Navier-Stokes equations and renormalized solutions are used for the heat equation. We state regularity results for these equations and then we prove few existence and uniqueness results of the solution of the system for small data.\\

Keywords: Elliptic and parabolic problems, asymptotic behaviour in infinite cylinders, renormalized solutions, Boussinesq systems, uniqueness.