BOUSSAADA Islam

Laboratoire Raphaël SALEM
UMR 6085 CNRS - Université de Rouen
BP12, Avenue de l'Université
76801 Saint Étienne du Rouvray



Tél : (33)[0]2 32 95 52 55
Fax : (33)[0]2 32 95 52 86
Adresse électronique : islam.boussaada@etu.univ-rouen.fr

Composition du Jury  :

Président	:	R. Fernandez	Professeur, Université de Rouen
Rapporteurs	:	C. Christopher	Professeur, University of Plymouth (GB)
		I.A. Garcia	Professeur, Universitat de Lleida (Espagne)
		E. Volokitin	Directeur de Recherches, Institut Sobolev, Novosibirsk (Russie)
Examinateurs	:	G. Duchamp	Professeur, Université Paris 13
		J. Moulin-Ollagnier	Professeur, Université Paris 12
Directeurs de Thèse	:	A.R. Chouikha	Maître de Conférence, Université de Rouen
		J-M. Strelcyn	Professeur, Université de Rouen

Résumé

Le sujet global de cette thèse est l'étude des solutions périodiques des systèmes plans d'équations différentielles ordianaires. Elle est divisée en deux grandes parties.
La première partie, (il s’agit d’un travail publié et écrit en collaboration avec R. Chouikha) est consacré à la recherche des solutions périodiques de «  l’équation de Liénard généralisée ». On démontre un théorème qui asure dans certains cas l’existence de telles solutions.
La seconde partie est consacré à la recherche de centres isochrones de systèmes d’équations différentielles ordinaires polynomiaux plans.  Grâce à l’usage de C-algorithme, on détermine huit nouveaux cas. On montre aussi l’efficacité de la méthode des formes normales dans de telles recherches, en examinant des systèmes d’ordre 2, 3, 4 et en retrouvant de manière uniforme plusieurs résultats déjà connus.

Mots clés : Équation de Liénard, perturbations non autonomes, solutions périodiques, systèmes polynomiaux d'EDO plans, centres isochrones, fonction d'Urabe, formes normales, calcul formel.

Abstract

The global subject of this thesis is the study of periodic solutions of the planar systems of ordinary differential equations. It is divided into two parts.
The first part (which is an already published paper, written in collaboration with A. Raouf Chouikha) is devoted to the search of periodic solutions of "generalized Liénard equation". A theorem is proved which insures the existence of such solutions under appropriate assumptions.
The second part is devoted to the search of isochronous centers of the planar polynomial systems of ordinary differential equations. Using C-algorithm we determine eight new cases. We prove also the efficiency of the normal forms method for such investigations; studying some systems of order 2, 3, 4 and recovering in uniform way some already known results. The intensive use of computer algebra turns to be essential for successful application of the used methods.
 

Keywords: Liénard equation, non-autonomous perturbations, periodic solutions, polynomial planar systems of ODE, isochronous centers, Urabe function, normal forms, computer algebra.