BORRELLO Davide

Laboratoire Raphaël SALEM
UMR 6085 CNRS - Université de Rouen
BP12, Avenue de l'Université
76801 Saint Étienne du Rouvray



Tél : (0039)[0]362 93 26 50
Adresse électronique : d.borrello@campus.unimib.it

Composition du Jury  :

Président	:	G. Tessitore	Professeur, Université de Université de Milano-Bicocca
Rapporteurs	:	R. Schinazi	Professeur, University of Colorado
		F. Martinelli	Professeur, Université de Roma Tre
Membres	:	M. Mourragui	Maître de conférences, Université de Rouen
		Gustavo Posta	Professeur, Politecnico di Milano
Directeur de Thèse	:	Ellen Saada	Directeur de Recherche CNRS, Université de Rouen/Université de Paris Descartes

Résumé

Le sujet principal de la thèse sont les systèmes de particules en interaction sur des graphes soit déterministes soit aléatoires. Les systèmes de particules en interaction sont des processus de Markov qui décrivent l'évolution de particules indistingables en interaction forte les unes avec les autres qui sont utilisés pour modéliser des phénomènes d'épidémies, des dynamiques des populations ou des processus chimiques.

Dans la première partie de la thèse nous avons analysé l'ordre stochastique et l'attractivité dans une classe de systèmes de particules avec des naissances, des morts et des sauts de plus d'une particule à la fois qui dépendent de la configuration de manière très générale: nous avons utilisé l'attractivité pour obtenir des résultats d'ergodicité pour des modèles d'épidémie et pour construire des mesures invariantes non-triviales pour des modèles de dynamiques de méta-populations.

Dans la deuxième partie de la thèse nous avons analysé les marches aléatoires coalescentes sur des graphes aléatoires, les graphes small world. Nous avons montré que le nombre de particules d'un processus de n marches aléatoires coalescentes renormalisées qui partent d'un ensemble particulier sur le small world converge vers un processus coalescent de Kingman. Nous avons aussi obtenu des résultats détaillés sur le temps de rencontre de deux particules sur small world.

Mots clés :  Ordre stochastique, Attractivité, Modèles de méta-population, Effet Allee, Migration de masse, Graphes small world, Marches aléatoires coalescentes.

Abstract

The main subject of the thesis is concerned with interacting particle systems, which are classes of spatio-temporal stochastic processes describing the evolution of particles in interaction with each other either in deterministic or in random graphs. They are used to study epidemic models, metapopulation dynamics systems and chemical processes.

In Part I we investigated the stochastic order in a particle system with multiple births, deaths and jumps depending on the configuration in a general way: stochastic order is a key tool to understand the ergodic properties of a system. We gave applications to determine ergodicity conditions on a model of spread of epidemics and to construct non-trivial invariant measures for metapopulation dynamics systems.

In Part II we analysed the coalescing random walk in a class of finite random graphs modeling the social networks, the small world graphs. We proved that the rescaled coalescing random walk on small world starting with n particles converges to the Kingman's coalescent. We also proved some detailed results on the meeting time of two random walks on small world.

Keywords: Stochastic order, Attractiveness, Metapopulation models, Allee effect, Mass migration, Small world graphs, Coalescing random walk.