BELILI Nacereddine

Université de Rouen
Analyse et Modèles Stochastiques
UPRES-A CNRS 6085, site Colbert
76821 Mont-Saint Aignan



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Composition du Jury  :

Président	:	J. de Sam Lazaro	Professeur, Université de Rouen
Rapporteurs	:	Y. Brenier	Professeur, Université de Paris VI
		W. Gangbo	Professeur, Georgia Institute of
			Technology, USA
Directeur de thèse	:	C. Dellacherie	Directeur de Recherches, CNRS
Examinateur	:	H. Heinich	Professeur, INSA de Rouen

Résumé

Cette thèse comprend trois parties, Dans la première partie, on donne une synthèse du théorème de dualité relatif au problème des marges, ses diverses applications comme le théorème de Strassen, la caractérisation de l'ordre stochastique et la représentation des métriques minimales. On donne une preuve du théorème de Goldstein basée sur la représentation de la distance de variation totale.

Dans la seconde partie, on considère une suite ( µ_n de probabilités sur R^d convergeant étroitement vers une probabilité µ absolument continue par rapport à la mesure de Lebesgue. On suppose que µ_n et µ admettent un moment d'ordre p > 1. On montre l'existence d'une suite de variables aléatoires {(X_n,X)} à valeurs dans R^d × R^d telles que X_n = j_n(X), où j_n: R^d -> R^d est c-cycliquement monotone, X_n converge presque-sûrement vers X et où chaque couple (X_n,X) est c-optimal pour ( µ_n, µ ).

Dans la dernière partie, en collaboration avec H. Heinich, nous donnons des propriétés des probabilités qui vérifient la propriété de transport. En particulier, nous examinons le cas des probabilités fortement diffuses. Nous étudions la relation entre la dérivabilité d'une fonction réelle f et le fait que la probabilité L o f^*-1 vérifie la propriété de transport, où L est mesure de Lebesgue et la fonction f^*(x) := (x,f(x)).

Mots clés : Problème des marges, problème de transport de Monge-Kantorovich, distance de Lévy-Wasserstein, couplage et propriété de transport

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Abstract

This thesis includes three parts. In the first one, we gives a review of duality theorem for marginal problems and it's applications like Strassen theorem, representation of stochastic orders and representation of minimal metrics. We give a proof of Goldstein theorem based on the representation of total variation metric.

In the second part, let ( µ_n be a sequence of probability measures on R^d which converges weakly to probability ( µ which is absolutely continuous with respect to Lebesgue measure and suppose that µ_n and µ having p-moments, with p > 1. We show the existence of a sequence of random variables {(X_n,X)} such that X_n = j_n(X), where j_n:R^d -> R^d, is c-cyclical monotone, X_n converges to X and where every (X_n,X) is an c-optimal coupling for ( µ_n, µ ).

In the last part, realized with H. Heinich, we give some properties of probabilities which verify transport property. In particular, we examine the case of strongly diffuse probability. We study the relationship between the derivability of a real function f and the fact that the probability L o f^*-1 verifies transport property, whith L is the Lebesgue measure and f^*(x) := (x,f(x)).

Keywords: Marginal problem, Monge-Kantorovich transportation problem, Levy-Wasserstein metric, coupling and transport property

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