BELHADJI Lamia

Laboratoire Raphaël SALEM
UMR 6085 CNRS - Université de Rouen
BP12, Avenue de l'Université
76801 Saint étienne du Rouvray



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Fax : (33)[0]2 32 95 52 86
Adresse électronique : lamia.belhadji@univ-rouen.fr

Composition du Jury  :

Président	:	C. Dellacherie	Directeur de recherche CNRS, Université de Rouen
Rapporteurs	:	B. Ycart	Professeur, Université de Grenoble
		R. Schinazi	Professeur, University of Colorado
Examinateurs	:	E. Andjel	Professeur, Université de Provence
		B. Chouaf	Professeur, Université Djillali Liabès
		M. Mourragui	Maître de conférence, Université de Rouen
Directeur de Thèse	:	E. Saada	Chargée de recherche CNRS, Université de Rouen

Résumé

(Systèmes à une infinité de particules en interaction et modèles d'épidémies) Dans cette thèse nous considérons deux approches pour étudier la propagation d'une maladie contagieuse au sein d'une population structurée spatialement et divisée en regroupement sociaux. On suppose que chaque site du réseau Z^d est occupé par un regroupement d'individus, chacun de ces individus pouvant être sain ou malade. Suivant que nous considérions deux populations les individus sains et les individus malades ou seulement celle des individus malades, plusieurs modèles sont proposés pour étudier des phénomènes d'épidémies. La première approche utilisée est celle des limites hydrodynamiques : passage du niveau microscopique au niveau macroscopique, elle repose sur une renormalisation de l'espace (faire tendre vers zéro la distance entre deux sites voisins), et du temps (ajouter à la dynamique du processus des déplacements accélérés des individus); en utilisant la méthode de l'entropie relative, nous montrons que les mesures empiriques de répartition des individus sains et des individus malades convergent vers une mesure déterministe absolument continue par rapport à la mesure de Lebesgue, dont la densité est la solution d'un système d'équations de réaction-diffusion. La deuxième approche est au niveau microscopique, le but est d'étudier l'existence de mesures stationnaires non triviales pour ces modèles d'épidémies par des techniques de systèmes de particules en interaction, à savoir le couplage et le théorème de comparaison.

Mots clés : Processus de Markov, systèmes de particules en interaction, processus de contact, théorème de comparaison, mesures stationnaires, modèles d'épidémie, processus de réaction diffusion, limites hydrodynamiques, entropie relative.

Abstract

(Interacting particle systems and epidemic models) In this thesis we consider two approaches to study the spread of infectious diseases within a spatially structured population distributed in social clusters. Each site of the $d$-dimensional integer lattice Z^d is occupied by a cluster of individuals, each individual is healthy or infected. According whether we consider only the population of infected individuals or both populations of infected individuals and healthy ones, several models are given to study the epidemic phenomena. Our first approach is the derivation of hydrodynamics limits: going from the microscopic level to the macroscopic one, it relies on a rescaling of space (by making the distance between two adjacent sites go to zero), and time (add speeded up jumps of individuals). By using the relative entropy method we prove that the empirical measures of infected and healthy individuals converge to a deterministic measure absolutely continuous with respect to the Lebesgue measure, whose density is the solution of a system of reaction-diffusion equations. Our second approach is at a microscopic level, its goal is to determine the existence of nontrivial stationary measures for these epidemic models through interacting particle systems techniques, like coupling and the comparaison theorem.

Keywords: Markov processes, interacting particle systems, contact process, comparaison theorem, stationary measures, epidemic models, reaction-diffusion process, hydrodynamic limits, relative entropy method.