BARECHE Aïcha
THÈSE DE DOCTORAT DE L'UNIVERSITÉ DE ROUEN
soutenue le 9 juin 2010
sous la direction de Ahmed BOUZIAD, Université de Rouen
|
|
| Discipline | : Mathématiques
|
| Spécialité |
: Topologie |
Problème d'Itzkowitz, propriété de Namioka et espaces Ck(X)
Composition du Jury :
|
|
| Président : |
|
Paul RAYNAUD de FITTE |
Professeur, Université de Rouen
|
| Rapporteurs :
| | Simon DOLECKI
|
Professeur, Université de Bourgogne, Dijon |
| | |
Mahmoud FILALI |
Professeur, Université de Oulu (Finlande) |
| Directeur de Thèse : |
|
Ahmed BOUZIAD | Professeur, Université de Rouen
|
Résumé
La thèse est composée de trois parties indépendantes.
Dans la première partie, nous abordons le problème d'Itzkowitz dont le but est de savoir si pour tout groupe topologique,
l'égalité des classes des fonctions réelles bornées uniformément continues sur G à gauche et à droite entraîne
l'égalité des uniformités gauche et droite.
Nous proposons une solution de ce problème pour un groupe topologique d'exposant fini.
Plus précisément, la démonstration présentée concerne tout groupe G pour lequel
la restriction de la fonction qui, à g de G associe gp de G est uniformément
continue à gauche ou à droite sur un ouvert non vide U de G
(pour au moins un entier p > 1).
Plusieurs conséquences sont tirées de ce résultat, en particulier,
le problème est résolu positivement pour tout groupe de Baire périodique.
En outre, nous concluons que tout groupe Roelcke précompact est précompact
et donnons à la fin un exemple d'un groupe non SIN d'exposant 4.
La deuxième partie concerne le problème de l'existence de
points de continuité pour une application séparément continue
définie sur le produit de deux espaces topologiques.
Plus précisément, étant données
une application séparément continue f de X x K dans R et une partie
B de K, nous étudions l'existence d'une partie R résiduelle
dans X telle que f soit jointement continue en tout point
de R x B.
Pour cela, nous adoptons une approche globale qui permet d'améliorer substantiellement
la plupart des résultats obtenus précédemment avec
démonstrations souvent unifiées. Nous considérons le théorème de
Troallic et Calbrix dans une configuration plus générale et améliorons les résultats de Moors, Talagrand (y
compris, la variante K-analytique de son théorème) et Kenderov-Moors.
Nous apportons une modification fonctionnelle au jeu de Christensen-Saint Raymond
ce qui permet d'élargir la classe des espaces de Namioka;
en particulier nous montrons que tout espace pseudocompact est de Namioka.
Dans la dernière partie, nous étudions la propriété o-Malykhin
sur l'espace fonctionnel Ck(X) pour un espace topologique X complètement régulier.
Nous établissons l'équivalence entre la propriété o-Malykhin de l'espace Ck(X)
et une propriété que nous appellerons WWMOP, concernant l'espace X. Nous proposons également
une caractérisation de la propriété o-Malykhin de l'espace Ck(X)
à l'aide d'un jeu topologique défini sur l'espace X inspiré par le jeu
de Gruenhage et Ma. Finalement, nous donnons quelques résultats et
exemples liés à la propriété o-Malykhin.
Mots clés :
groupe SIN, groupe FSIN, groupe ASIN, uniformité gauche (droite); continuité séparée, continuité jointe, espace de Namioka; propriété o-Malykhin, compact-finie.
Abstract
This thesis is divided in three independent parts. In the first one, we study Itzkowitz's problem, in which we are asking whether every topological group G has equal left and right uniform structures provided that every bounded left uniformly continuous real-valued function on G is right uniformly continuous. We propose a solution to this problem in the case when G is of finite exponent or, more generally, if there exist an integer p > 1 and a nonempty open set U of G such that the power map: g in U to gp in G is left (or right) uniformly continuous. This also resolves the problem
for periodic Baire group.
Furthermore, we conclude that every Roelcke precompact group is precompact and we give an example of a group of exponent 4 which is not SIN.
In the second part, we study the existence of points of joint continuity for a real separately continuous map defined on the product of two topological spaces. More precisely, let f: X x K to R be a separately continuous mapping and B a subset of K, the aim is to prove the existence of a residual subset R of X such that f is jointly continuous at each point of R x B. For this, we adopt a global approach which permits us to improve substantially the most of the results obtained in the past, often with unified proofs. We consider Calbrix-Troallic's theorem in a more general configuration and we improve the results of Moors, Talagrand (including the K-analytic variant of his theorem) and Kenderov-Moors. On the other hand, concerning the factor X, we do a functional adjustment to the game of Christensen-Saint Raymond, thereby obtaining a class wider than that of σ-β-defavorable spaces whose members are still Namioka spaces; in particular we show that every pseudocompact space is a Namioka space.
In the last part, we are interested in the o-Malykhin property for the functional space Ck(X) when X is a completely regular topological space. We establish the equivalence between the o-Malykhin property for the space Ck(X) and a property for the space X called WWMOP. We are also characterizing the o-Malykhin property for the space Ck(X) in term of a topological game defined on the space X inspired by the game of Gruenhage and Ma. Finally, we give some related results and examples.
Keywords:
SIN-group, FSIN-group, ASIN-group, left (right) uniformity; separate continuity, joint continuity, Namioka space; o-Malykhin property, compact-finite.
