Composition du Jury  :

Président :	E. LENGLART,	Professeur, INSA de ROUEN
Rapporteurs :	B. BONNARD,	Professeur, Université de DIJON
	H. HAMMOURI,	Professeur, Université de LYON
Examinateurs :	P. JOUAN,	M.C., Université de ROUEN
	R. ABIB,	M.C., Université de ROUEN
	W. RESPONDEK,	Professeur, INSA de ROUEN
Directeur de thèse :	J.P. GAUTHIER,	Professeur, Université de DIJON

Résumé

Cette thèse aborde avec des outils de la théorie des singularités deux problèmes de la théorie du contrôle :
les métriques sous-riemanniennes et l'observabilité des systèmes non linéaires.

A tout problème isopérimétrique sur une surface riemannienne on peut localement associer une métrique sous-riemannienne de contact en dimension 3. Le cas particulier des problèmes de Didon correspond à une classe de métriques sous-riemanniennes de contact singulières : les métriques sous-riemannienne de contact admettant pour symétrie le champ caractéristique. Nous donnons la classification du lieu conjugué de toutes les situations génériques (c'est-à-dire la classification des singularités génériques de l'application exponentielle) pour une famille à un paramètre de métriques sous-riemanniennes correspondant à une famille de problèmes de Didon riemanniens.

En ce qui concerne l'observabilité non linéaire, nous montrons que dans l'ensemble des systèmes non linéaires, lisses ou analytiques, affines en le contrôle, avec une entrée et au moins deux sorties supposées indépendantes de l'entrée, l'observabilité est une propriété générique. En d'autres termes, cela signifie que l'application entrée-sortie n'admet pas de singularités génériques.

Mots clés : Contrôle, singularité, non-linéaire, sous-riemannien, observabilité.

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Abstract

In this thesis we apply singularity theory to two problems in control theory: Sub-Riemannian metrics and nonlinear observability.

Locally, isoperimetric problems on Riemannian surfaces are sub-Riemannian problems in dimension 3. The particular case of Dido problems corresponds to a class of singular contact sub-Riemannian metrics : metrics which have the charateristic vertor field as a symmetry. We give a classification of the generic conjugate loci (i.e., a classification of generic singularities of the exponential mapping) of a 1-parameter family of 3-d contact sub-Riemannian metrics associated to a 1-parameter family of Dido Riemannian problems.

On the subject of nonlinear observability, we show that, for smooth or real-analytic nonlinear systems, control-affine, with one input and at least two outputs assumed independant of the input, observability is generic. In other words, the input-output map does not have generic singulaties.

Keywords: Control, singularity, nonlinear, sub-Riemannian, observability.

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