ATTAOUI Abdelatif
Laboratoire Raphaël SALEM
UMR 6085 CNRS - Université de Rouen
BP12, Avenue de l'Université
76801 Saint étienne du Rouvray
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THÈSE DE DOCTORAT DE L'UNIVERSITÉ DE ROUEN
soutenue le 06 Avril 2007
sous la direction de D. BLANCHARD, Professeur à
l'Université de Rouen
avec la mention trés honorable
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Discipline |
: Mathématiques Appliquées |
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Spécialité |
: Analyse Numérique |
Existence de solutions faibles et faible-renormalisées
pour des systèmes non linéaires de Boussinesq
Composition du Jury :
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Président |
: |
D. Cioranescu |
Directeur de recherche CNRS, Paris VI |
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Rapporteurs |
: |
D. Cioranescu |
Directeur de recherche CNRS, Paris VI |
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E. Fernandez-Cara |
Professeur, Université de Sevilla |
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Examinateurs |
: |
L. Glangetas |
Professeur, Université de Rouen |
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A. Miranville |
Professeur, Université de Poitiers |
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C.-J Xu |
Professeur Université de Rouen |
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Directeur de Thèse |
: |
D. Blanchard |
Professeur Université de Rouen |
RésuméLa thèse est consacrée essentiellement à l'étude
de systèmes non linéaires d'évolution issus d'un modèle de Boussinesq
: couplage entre les équations de Navier-stokes avec
un second membre $F(\theta)$, o\`u $F$ est une force de gravité proportionnelle
à des variations de densité qui dépendent de la température et l'équation de
l'énergie.\\ Le premier chapitre nous donne un résultat d'existence d'une solution
faible-renormalisée du système de Boussinesq
en dimension $2$, dans le cas o\`u $F$ est bornée dans $L^\infty$.\\
Dans le chapitre $2$, on aborde le cas de fonctions $F$ plus générales : $F$ vérifie une hypothèse de croissance. On
démontre l'existence de solutions pour toutes données initiales ou pour des données
initiales petites selon la croissance de $F$.\\ Dans le chapitre $3$, nous
faisons une généralisation des résultats du chapitre $2$ mais sans le terme de
convection.\\ Dans le chapitre $4$, le manque de stabilité de l'énergie de dissipation
dans $L^1(Q)$ en dimension $3$, nous
contraint à transformer de façon formelle le système de Boussinesq.
On démontre l'existence d'une solution faible de ce nouveau système en
dimension $3$.
Mots clés : équations aux dérivées partielles,
systèmes non linéaires d'évolution, modèle de Boussinesq,
équations de Navier-stokes, équation de l'énergie,
résultats d'existence, solutions renormalisées.
Abstract The thesis is essentially devoted to prove existence results for some nonlinear
partial differential systems of the Boussinesq kind : a Navier-Stokes like
motion equation for the velocity and the pressure coupled to an energy
conservation equation.\\ The first chapter gives us a result of existence of a weak-renormalized
solution of the Boussinesq system in dimension $2$, in the case where $F$ is
bounded in $L^\infty$.\\ In the chapter $2$, we treat the case of more general
functions $F$ : $F$ satisfies a growth assumption. We show the existence of solutions
for all given initial or for small initial data according to the growth of
$F$.\\ In the chapter $3$, we make a generalization of results of the chapter
$2$ but without the term of convection.\\ In the chapter $4$, the dissipation
energy is not stable in $L^1(Q)$ ($N=3$), which constrained us to perform a
formal transformation on the Boussinesq system. We show the existence of a weak
solution of this new system in dimension $3$.
Keywords : partial differential equations, nonlinear
systems, Boussinesq model, Navier-Stokes equations, energy equation, existence
results, weak-renormalized solutions.
