Dans la première partie, on montre l'équivalence, avec constante optimale, entre l'inégalité isopérimétrique forte $\# A\leq \alpha \# \partial A $ pour tout sous-ensemble $A$ d'un graphe dénombrable $\cal G$ et l'inégalité $\parallel f \parallel _1\leq \alpha |f|_{var}$ pour toute fonction \`a variation finie nulle \`a l'infini. Plus généralement, on montre l'équivalence entre l'inégalité isopérimétrique $\# A {\cal P}^{-1}({1\over \# A})\leq \alpha \# A$ et l'inégalité $\parallel f\parallel _{\cal M} \leq \alpha |f|_{var} $, o\`u ${\cal M}$ est une fonction de Young et $\cal P$ sa conjuguée. On obtient l'inégalité isopérimétrique sur ${\Bbb Z} ^n$ comme application du résultat.
Dans la seconde partie, étant donnée une marche aléatoire sur un arbre, nous établissons, pour les points de la frontière, des critères de régularité analogues aux critères classiques relatifs au problème de Dirichlet pour le brownien dans ${\Bbb R}^n$, dont celui de Wiener pour $n=2$.
Mots clés :
Inégalités isopérimétriques, constante isopérimétrique, test de Wiener, probléme de Dirichlet, graphes, arbres, capacité, résistance.
Abstract
In the first part, we prove the equivalence between the strong isoperimetric inequality $\# A\leq \alpha \# \partial A$, for any subset $A $ of countable graph $ {\cal G}$, and the inequality $\parallel f \parallel _1\leq \alpha |f|_{var}$ for any function with finite variation on $\cal G$ and null at infinity, with optimal constant. More generally, we prove the equivalence between the isoperimetric inequality $\# A {\cal P}^{-1}({1\over \# A})\leq \alpha \# A$ and the inequality $\parallel f\parallel _{\cal M} \leq \alpha |f|_{var} $, where ${\cal M}$ is a Young function and $\cal P$ its conjugate, and we also obtain an isoperimetric inequality in ${\Bbb Z} ^n$ as an application.
In the second part, for a random walk in a tree, we give analogues of Wiener's tests relatively to Dirichlet's problem for the endpoints of the tree.
Keywords:
Isoperimetric inequalities, isoperimetric constant, Wiener's test, Dirichlet
problem, graphs, trees, capacity, resistance.
