Anas ALTALEB
Université de Rouen
Analyse et Modèles Stochastiques
UPRES-A CNRS 6085, site Colbert
76821 Mont-Saint Aignan
 

Fax : (33)[0]2 32 10 37 94
Adresse électronique : altaleb@math.univ-mlv.fr

Composition du Jury

Président		C. Dellacherie	Directeur de Recherche, CNRS, Rouen
Rapporteur		G. Celeux	Directeur de Recherche, INRIA Grenoble
Rapporteur		J. Romhain	Professeur, Université de Damas, Syrie
Directeur de thèse		C. P. Robert	Directeur de Recherche, ENSAE
			Professeur, Université de Rouen
Examinateur		D. Fourdrinier	Professeur, Université de Rouen
Examinatrice		A. Philippe	Maître de Conférences, Université de Lille I

Résumé

Nous abordons dans cette thèse, deux aspects distincts :

(a) La construction et le test de certaines méthodes de simulation pour l'approximation des intégrales. Nous étudions en particulier les estimateurs de Monte Carlo auxquels il est souvent fait appel dans le traitement de modèles statistiques complexes. Notre apport en ce domaine consiste en l'utilisation des mélanges pour la stabilisation des échantillonnages d'importance. Pour valider l'estimateur pondéré, il est indispensable d'étudier son comportement pour les méthodes MCMC qui permettent la mise en œuvre d'une forme généralisée de l'estimateur pondéré. L'estimateur pondéré obtenu améliore à nouveau l'estimateur standard de Monte Carlo en termes de réduction de la variance et de vitesse de convergence. Cette forme généralisée de l'estimateur pondéré permet d'étendre le domaine d'application de notre estimateur à une grande classe de problèmes d'intégration rencontrés en Statistiques.

(b) L'étude d'un modèle de régression non linéaire généralisée, le modèle Logit, suivant deux méthodes : celle de Damien et Walker (1997) et une technique générique de Metropolis-Hastings. L'ensemble des résultats exposés est illustré par différentes simulations, qui montrent les comportements et les performances de l'algorithme de Metropolis-Hastings en termes de vitesse de convergence vers la loi stationnaire et de rapidité d'exploration de la surface de la loi a posteriori, par rapport à la méthode de Damien et Walker.

Mots clés : méthode d'intégration de Monte Carlo ; méthode de Monte Carlo par chaînes de Markov ; Rao-Blackwellisation ; échantillonnage pondéré ; estimateur de Riemann ; statistique bayésienne.
 
 

Abstract

In this thesis , we consider two main and distinct themes:

(a) the construction and the test of some methods of simulation for the approximation of integrals. We particularly examine the Monte Carlo estimators which often appear in the treatment of the more and more complicated statistical models. Our contribution in this field is to use mixings in order to stabilize the importance samplings. Then, in order to validate the importace sampling estimator, it is essential to study its behavior for Markov chain Monte Carlo methods which enables us the implementation of a generalized importance sampling estimator. The importance sampling estimator which is obtained improves again the standard Monte Carlo estimator in terms of variance reduction and speed of convergence. That generalized form of the importance sampling estimator enables us to extend the implementation field of our estimator to a bigger class of integration problems which occur in Bayesian statistics.

(b) The study of a generalized non-linear regression model - the Logit model - according to two methods: Damien and Walkers's (1997) and a generic Metropolis-Hastings algorithm. All the results presented here are illustrated by different simulations, and show the behaviors and the performances of the Hasting-Metropolis algorithm in terms of the convergence speed to the stationary distribution and the rapidity of exploration of the a posteriori distribution surface, against Damien and Walker's method.