Laboratoire
de Mathématiques Raphaël Salem
Un séminaire ouvert à tous est organisé chaque jeudi à 14H30. La salle du séminaire est située au troisième étage de l'ancien bâtiment EDF, place Colbert à Mont-Saint-Aignan. (Voir le plan d'accès)
Chaque exposé dure environ 50 minutes, les dix dernières minutes étant réservées à la discussion.
Elise JANVRESSE et Ellen SAADA sont chargées de l'organisation du séminaire.
Voir le programme de
Verwaat a établi une
correspondance entre la loi du pont Brownien et
celle de l'excursion au moyen d'une transformation trajectorielle.
Par des moyens issus
de la théorie générale des processus,
nous étendons ce résultat
aux processus de Lévy satisfaisant l'hypothèse
d'absolue continuité
de la
résolvante (dite hypothèse ACC de Sylverstein).
Pour cela nous avons besoin de définir et de construire
convenablement le
pont et l'excursion. Nous le faisons par des méthodes de
théorie du
potentiel en mettant en évidence que ces lois (pont et
excursion) peuvent être
comprises comme deux cas particuliers de mesures de Kuznetsov.
Ce travail est une contribution au numéro spécial
des annales de l'IHP consacré à
Paul-André Meyer et qui paraitra
prochainement.
Considérons le processus de percolation sur Z^d en régime surcritique. En renormalisant de maniere adéquate le réseau, les grands clusters finis apparaissent comme des points d'un processus de Poisson spatial. La preuve s'appuie sur la méthode Chen-Stein. Il s'agit alors de borner les interactions entre les différents cluters. Quelques commentaires seront faits en direction de la FK percolation.
We consider two models of random spanning trees with direction studied by physicists to explain river networks. In one of these models we study the local properties of the growth of the network, while in the other we study global properties of the connectedness of the network.
Pour des processus faiblement dépendants, on montre des inégalités de concentration qui conduisent à des estimateurs de certaines probabilités conditionnelles. Dans le cadre des mesures de Gibbs et de certains systèmes dynamiques, ces estimations permettent de construire un estimateur consistant de la fonction de potentiel.
Dans cet exposé on présentera des techniques d'analyse stochastique et d'intégration par parties pour les processus ponctuels qui permettent d'améliorer le calcul numérique de sensibilités par la méthode de Monte-Carlo dans des modèles à sauts. Une application au calcul de densités de probabilités et de sensibilités en assurance sera donnée.
Les
théorèmes ergodiques de type Von Neumann et
Birkhoff ont été
étudiés pour les groupes libres par Y. Guivarc'h
en 1969 (Von Neumann)
et A. Nevo et E. Stein en 1994 (Birkhoff) résultat
démontré de façon
beaucoup plus simple par A. I. Bufetov en 2001.
La situation est très différente dans le cas d'un
semi-groupe libre : en
effet, les démonstrations de A. Nevo et E. Stein d'une part
et celle de
A. I. Buffetov d'autre part s'appuient sur des opérateurs
auto-adjoints
qu'on ne peut pas faire intervenir dans le cas du semi-groupe libre. Il
s'agit ici de la convergence des itérés d'un
opérateur et peu de
résultats existent, en dehors du cas des chaînes
de Markov.
Nous démontrons des résultats de convergence dans
le cas d'un
semi-groupe libre d'opérateurs agissant sur l'espace
canonique d'une
chaîne de Markov ergodique indéxée par
le même semi-groupe libre.
Ce problème m'a été
suggéré par le travail sur la
phylogénie des
protéines de M. O. Dayhoff, R. V. Eck et C. M. Park de 1972.
La théorie de la ruine concerne la définition et l'étude de processus stochastiques introduits dans la modélisation de l'évolution de la richesse d'une compagnie d'assurances. Après une introduction générale sur ce domaine, nous nous intéresserons à des processus de risques multivariés. Des théorèmes de différentiation de certaines fonctionnelles de tels processus permettent de déterminer comment répartir de façon optimale la réserve globale de la compagnie entre différentes branches d'activités (assurance automobile, responsabilité civile, ...) de façon à minimiser certaines mesures de risque, liées à des temps d'atteinte ou de séjour en-dessous d'une barrière. Un modèle de dépendance entre les risques est proposé et l'impact de la dépendance sur l'allocation optimale est étudié.
Un système de particules multicolore est un processus de Markov défini sur une structure spatiale, à valeurs dans un ensemble fini appelé ensemble des couleurs, et dont la dynamique est définie par des interactions locales. Dans cet exposé, nous considérons un système de particules dont les taux de transitions en chaque site dépendent continûment d'un paramètre lambda appartenant à un ouvert D. Nous donnons une condition suffisante pour que les processus de paramètre lambda et lambda_0, lambda proche de lambda_0, exhibent, en un sens à préciser, les mêmes comportements. Ce résultat, généralement appelé argument de continuité, a déjà été démontré pour certains systèmes de particules. Dans cet exposé, nous étendons ce résultat à une large classe de systèmes de particules.
Grégory
Maillard (Eurandom)
Intermittence en milieu aléatoire catalytique.
On étudie l'intermittence pour le modèle parabolique d'Anderson dont la solution décrit l'évolution d'un "réactant" u sous l'influence d'un "catalyseur" et d'une diffusion. Dans ce travail, on s'intéresse au cas où le catalyseur est un processus d'exclusion simple. On calcule les exposants de Lyapunov moyennes, i.e., les taux de croissance exponentiels des moments successifs de u et on montre qu'ils dépendent de façon intéressante de la dimension d et de la diffusion avec des comportements différents si d=1 ou 2, si d=3 ou si d>=4.
Sorin
Mardare
Sur les systèmes de Pfaff et leurs applications en
géométrie différentielle.
Nous montrons un résultat d'existence et unicité pour les systèmes de type Pfaff dont les coefficients sont essentiellement bornés localement. Ensuite, nous appliquons ce résultat pour améliorer deux résultats classiques de géométrie différentielle. Plus précisément, nous montrons qu'un espace riemannien défini par une métrique localement lipschitzienne peut être immergé dans l'espace euclidien de la même dimension pourvu que le tenseur de courbure de Riemann s'annule au sens des distributions. Ce résultat généralise un théorème classique de géométrie différentielle où la métrique est deux fois continûment différentiable. Nous montrons ensuite que l'on peut reconstruire une surface à partir de ses deux premières formes fondamentales (la première étant localement lipschitzienne, la deuxième essentiellement bornée localement) satisfaisant les équations de Gauss et de Codazzi-Mainardi au sens des distributions. Ce résultat généralise le théorème fondamental de la théorie des surfaces (valable pour des formes différentielles plus régulières).
Andrey
Piatnitsky (Narvik University College and
Lebedev Physical Institute, Moscou)
Homogenization of singular structures and measures.
On montrera comment la considération d'ensembles "hyper-infinis" hypothétiques a mené naturellement à des intuitions algébriques nouvelles, puis à des résultats insoupçonnés sur les tresses, avec notamment des algorithmes de calcul spécialement efficaces utilisables pour des applications cryptographiques.
Soit (Xi){i
\in Z},
une suite stationnaire de variables
aléatoires à valeurs dans Rd.
On note P
la loi marginale commune. Soit Pn
la mesure empirique et
Zn
la mesure empirique centrée et normalisée :
Pn
= \frac{1}{n} \sum_{i =1}^n \delta_{Xi},
et Zn
= \sqrt{n} (Pn
- P) .
On s'intéresse à la convergence dans l'espace de
Skohorod
D(Rd)
de la suite de processus
{Zn(f),
f \in F} où F
:= { I{x \leq t}
, t \in Rd
}.
On obtient alors un théorme limite central empirique pour
{ \sqrt{n} ( F_n(t) - F(t) ) }
sous des conditions
de $\beta$ ou $\phi$ dépendance portant sur la suite
(Xi){i
\in Z}.
Les principaux outils utilisés sont
des inégalités de moments dues à
Dedecker, ainsi que des arguments de chaînage
utilisés par
exemple par Andrews et Pollard ou encore Louhichi.
Comment caractériser les germes de fonctions indéfiniment différentiables qui sont entièrement déterminés, modulo un changement de variable lisse, par leur série de Taylor à l'origine, ou leur jet sur un fermé ? Dans le cas de germes à point critique isolé, le problème est parfaitement compris depuis les années 70 -- il s'agit en quelque sorte d'une variante "d'ordre infini" de la notion de jet suffisant (selon la terminologie de Thom) ou de détermination de germes (selon celle de Mather). Il en va autrement pour les singularités non isolées, où une caractérisation est connue seulement dans des cas très particuliers. On présentera un résultat sensiblement plus général.
Pour un automate cellulaire agissant sur un espace de dimension supérieure ou égale à deux, la valeur de l'entropie métrique semble à priori être infinie ou égale à zero pour n'importe quelle mesure invariante que l'on sait construire. Nous proposons une nouvelle entropie prenant toujours des valeurs finies et dont la définition d'epend de la dimension de l'automate. En dimension 1 cette definition correspond à l'entropie standard. Nous donnons ensuite une borne supérieure finie à cette nouvelle entropie qui dépend entre autre d'exposants de Lyapunov discrets directionnels.
Un processus indéfiniment divisible (ID) est un processus stochastique (X_n) tel que, pour tout entier k, (X_n) peut être vu comme la somme indépendante de k processus de même loi. Nous nous intéresserons aux processus ID sans partie Gaussienne (alors nommé "poissoniens") pour lesquels on obtient la décomposition suivante: Tout processus stationnaire ID poissonien s'écrit comme la somme de 5 processus ID poissoniens qui sont respectivement non ergodique, faiblement mélangeant non modérément mélangeant, modérément mélangeant non mélangeant, mélangeant de tout ordre et Bernoulli. Pour arriver à ce résultat, on représente nos processus comme des intégrales stochastiques contre une suspension de Poisson, ce qui nous amène à étudier les propriétés ergodiques de ces objets.
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