Laboratoire
de Mathématiques Raphaël Salem
Un séminaire ouvert à tous est organisé chaque jeudi à 10H45. La salle du séminaire est située au troisième étage de l'ancien bâtiment EDF, place Colbert à Mont-Saint-Aignan. (Voir le plan d'accès)
Chaque exposé dure environ 50 minutes, les dix dernières minutes étant réservées à la discussion.
Elise JANVRESSE et Ellen SAADA sont chargées de l'organisation du séminaire.
Voir le programme de
Programmes des saisons antérieures :
Soit (Mn) une martingale, écrite comme somme de ses accroissements sous la forme
|
|
|
La preuve de cette estimation ne nécessite aucun outil sophistiqué de théorie des probabilités, car elle se ramène facilement à l'étude des itérations d'un opérateur non linéaire agissant sur les fonctions mesurables positives.
Soit une population de taille N finie inconnue issue d'une distribution à paramètres inconnus (e.g. exponentielle l, Pareto l, Weibull à paramètre d'échelle inconnu).
Sur la base des r premières observations (censure de type II), les
estimateurs ponctuels classiques sont infinis avec probabilité positive :
P(^N = ¥) > 0, voire @ 0.5
Nous adaptons le test séquential de Wald (SPRT) pour choisir entre deux valeurs possibles de N (N=n0 vs N=n1).
La nécessité de confidentialité de messages ne date pas de l'ère internet. Au petit jeu du codage - décryptage, hier comme aujourd'hui, les mathématiciens sont sollicités pour concevoir ou décrypter de nouvelles méthodes de chiffrage. L'histoire d'Enigma, la machine à chiffrer et à déchiffrer utilisée par les armées allemandes de 1930 à 1945, en est un exemple où se mèlent espionnage et mathématiques.
Plusieurs problèmes en Dynamique, et dans d'autres domaines, se ramènent à comprendre la croissance des normes de certains produits de matrices basés sur une transformation. Je m'intéresse à cette question d'un point de vue générique : est-ce croissance exponentielle de la norme (exposants de Lyapunov non nuls) la situation typique, au sens soit de la topologie soit de la mesure ? Comme on le verra, la réponse est Oui ... et Non.
Exposé d'un résultat obtenu conjointement avec Thierry de la Rue qui affirme que l'ensemble des automorphismes d'un espace de probabilité est un ensemble résiduel pour la topologie faible des automorphismes.
We prove a shape theorem for a growing set of simple random walks on Zd, known as frog model. The dynamics of this process is described as follows: There are active particles, which perform independent discrete time SRWs, and sleeping particles, which do not move. When a sleeping particle is hit by an active particle, the former becomes active as well. Initially, a random number of particles is placed into each site. At time 0 all particles are sleeping, except for those placed at the origin. We prove that the set of all sites visited by active particles, rescaled by the elapsed time, converges to a compact convex set.
L'unique mesure SRB d'un système dynamique uniformément hyperbolique et topologiquement mélangeant satisfait une condition de mélange.
Si ce système n'est pas markovien cette mesure n'est cependant ni phi-mélangeante ni même alpha-mélangeante.
Il est alors important de savoir si les théoremes de
convergence stochastique des statistiques usuelles (par exemple les
fonctions de répartitions empiriques) persistent, et de préciser
éventuellement la vitesse de convergence par des propriétés de grande déviation.
Ce type de résultats est souvent une conséquence immédiate
d'inégalités dites exponentielles.
Nous nous proposons de montrer ce type d'inégalités pour les mesures SRB de dynamiqes dilatantes par morceaux de l'intervalle.
On se donne un espace de probabilité (W, E, P) et deux sous-tribus F et G de E. Sous quelles conditions peut-on avoir sur (W, E) une probabilité Q équivalente à P et telle que F et G soient stochastiquement indépendantes par rapport à Q. L' indépendance qualitative par rapport à P est une condition nécessaire. Elle permet la construction de probabilités Q (seulement) absolument continues par rapport à P; on peut en avoir une qui coïncide avec P sur F et sur G.
On peut étendre le résultat au cas où l'on munit F et G de probabiltés P1 et P2 respectivement, avec P1 et P2 absolument continues par rapport à P. On obtient une probabilité Q qui coïncide avec P1 et P2 sur F et G respectivement. On étend ensuite le résultat au cas d'un nombre fini F1, ..., Fn de sous-tribus de E.
L'Informatique Théorique a su développer des modèles pour
comprendre le comportement des machines. Ce faisant, elle a du inventer des
structures nouvelles qui permettent de résoudre des problèmes dans les
autres sciences.
Après une brève introduction où l'on rappelle, en les discutant, les
notions de convolution, d'étoile et de rationalité, on donne deux
exemples d'application des séries de mots à la réalisabilité des
algèbres d'opérateurs de création et d'annihilation de la Physique.
En deuxième partie, on pourra :
- soit montrer comment les formules classiques des automates
à multiplicité peuvent être utilisées pour résoudre une conjecture
qu'Alain Connes avait publiée dans son livre ``Non-Commutative Geometry''.
(Cette démonstration, débarassée de son matériel topologique redonne
une preuve courte d'un théorème de Gérard Cauchon qui montre
l'identité entre la rationalité au sens Informatique et la rationalité
au sens Mathématique, c'est à dire la trace positive de celle
déterminée sur le groupe libre)
- soit parler des derniers développements utilisant les séries
non-commutatives et concernant les sommes d'Euler-Zagier (ou MZV, les
multizetavalues).
On présente un nouveau modèle de coque mince et un modèle de coque pliée en élasticité linéarisée. Ces deux modèles admettent la même énergie interne de déformation où les effets de membrane et de flexion sont couplés. La présence d'un pli est caractérisée par une contrainte, très naturelle, dans l'espace variationnel. Ils sont basés sur un nouveau tenseur de changement de courbure c(u) qui permet de mesurer les variations linéarisées des courbures et directions principales d'une surface lorsqu'elle est soumise à un champ de déplacements u. De plus, ils s'appliquent à des coques de classe W2,¥ par morceaux telles que la normale soit W1,¥ pour lesquelles on définit un cadre variationnel approprié. On termine en donnant des estimations d'erreurs explicites en norme énergie entre les solutions de ces deux modèles ''approchés'' et celle du modèle de Kirchhoff-Love : elles sont en O(h2).
The celebrated Doob-Meyer theorem says that
any submartingale {Xt} of class (D) admits a unique
decomposition in the form
If {At} is continuous, then it is a limit in probability of the increasing predictable processes {Ant} appearing in the decomposition of discretizations {Xnt} of {Xt}. This natural property breaks completely in the case when {At} can have jumps.
We provide a way of an almost sure approximation for the process {At} in terms of suitably transformed {Ant}'s, valid independently of whether {At} is continuous or not.
Le principe de réflexion de Schwarz s'énonce de la façon suivante : Toute application continue entre deux courbes analytiques réelles dans \Bbb C, se prolongeant holomorphiquement d'un coté de la courbe, se prolonge holomorphiquement sur un voisinage de cette même courbe dans \Bbb C. Il est bien connu que l'équivalent de ce théoreme dans \Bbb CN est faux sans conditions supplémentaires. Dans cet exposé, on donnera des conditions suffisantes pour qu'une application CR de classe C¥ entre une sous-variété analytique réelle et une sous-variété algébrique réelle se prolonge holomorphiquement.
Chang et Keisler, dans leur livre ``Model Theory''(1973), ont défini la théorie des modèles par l'équation :
Le but de cet exposé est de donner une idée du cheminement qui a conduit à ces applications. Pour cela je tenterai de décrire, le plus simplement possible, une route qui conduit des presque débuts de la théorie des modèles (Lovenheim, Skolem, Tarski, ..., années 15-50) à la stabilité géométrique (Hrushovski, Zilber, ..., depuis les années 80) en passant par la stabilité (Morley, Shelah, ..., années 60-70).
Rencontre sur les théorèmes limites.
Rencontre sur les théorèmes limites.
Suivant un travail de J.R. Chazottes, E. Floriani et R. Lima, on cherche à identifier un potentiel en partant d'une trajectoire générée par une mesure de Gibbs inconnue.
Utiliser l'entropie relative conduit à deux inégalités permettant d'exclure les "mauvais" potentiels et d'obtenir une approximation de rang fini du potentiel recherché.
La croissance cristalline est aujourd'hui un procédé industriel très important. Par exemple, on fabrique des monocristaux de Silicium qui sont le produit de base pour la réalisation des puces électroniques. La bonne qualité de ces cristaux est donc une condition impérative pour l'industrie microélectronique. Au lieu d'effectuer des essais couteux avec de vrais cristaux, on cherche à simuler ce processus de tirage et les propriétés des cristaux à l'aide des ordinateurs. Pour cela, il faut d'abord modéliser ce processus et puis résoudre les équations aux dérivées partielles résultantes. Ce procédé permet d'optimiser les expériences pratiques et la production des monocristaux. Dans cet exposé, la modélisation de la croissance cristalline est montrée. Ensuite, il est discuté comment on peut résoudre les équations apparaissant et finalement quelques résultats sont présentés.
We give a solution to the equivalence and the embedding problems for smooth CR-submanifolds of complex spaces (and, more generally, for abstract CR-manifolds) in terms of complete differential systems in jet bundles satisfied by all CR-equivalences or CR-embeddings respectively (local and global). For the equivalence problem, the manifolds are assumed to be of finite type and finitely nondegenerate. These are higher order generalizations of the corresponding nondegeneracy conditions for the Levi form. It is shown by a simple example that these nondegeneracy conditions cannot be even slightly relaxed to more general known conditions. In particular, for essentially finite hypersurfaces in $\C^2$, such a complete system may not exist in general. For the embedding problem, the source manifold is assumed to be of finite type and the embeddings to be finitely nondegenerate.
On étudie l'existence et l'unicité des W2,1E([0, 1])-solutions
pour une équation différentielle ordinaire de la forme
|
ì í î |
|
|
Comme application, on présente un problème du type Bolza pour les équations différentielles du second ordre òu les contrôles sont des mesures Young.
Soit Z un espace compact métrique, k(Z) l'ensemble des compacts non vides de Z, G: [0, 1]® k(Z)
une multifunction Lebesgue-mesurable [0, 1] à valeurs compactes non vides de Z et
M1+(Z) l'ensemble des probabilités Radon sur Z.
M1+(Z) est un espace compact métrisable pour la
s( C(Z)¢, C(Z))-topologie.
On considère une application f : [0, 1]×E×E×Z ® E vérifiant:
(i) pour tout t Î [0, 1], f(t, ., ., .) est continue sur E×E×Z;
(ii) pour tout (x, y, z) Î E×E ×Z, f(., x, y, z) est Lebesgue-mesurable sur [0, 1];
(iii) il existe une constante c > 0 telle que f(t, x, y, Z) Ì c(1+||x||+ ||y||)[`B]E(0, 1) pour tout (t, x, y) Î [0, 1]×E×E
(iv) il existe des constantes de Lipschitz l1, l2
telles que l1+ l2 < 1/2
et telles que
||f(t, x1, y1, z) -
f(t, x2, y2, z)||
£ l
1|| x1 - x2
||+
l2 || y1
- y2 ||
pour tout (t, x_1, y_1, z), (t, x_2, y_2, z) dans [0, 1]× E× E ×Z.
On désigne par (SO) l ensemble des
W2,1E([0, 1])-solutions de
(DO) :
(C) Pour toute suite bornée (un, vn) dans CE([0, 1])× CE([0, 1]) et pour toute suite (zn) dans SG, la suite (I(., un(.), vn(.), zn(.)))n est uniformément intégrable.
On considère les problèmes de contrôle suivants : (PO): infz Î SG ò01 I(t, uz(t), [u\dot]z(t), z(t)) dt et (PÂ): infn Î SS ò0 1 [òZ I(t, un(t), [u\dot]n(t), z) nt(dz)] dt où uz (resp. un) est l'unique solution associée à z (resp. n) de (DO) (resp. (DR) ). Alors Inf (PO)= Min (PR).
Le principe de décision en démocratie consiste à produire, de l'expression des opinions individuelles,
un consensus.
Il existe de multiples procédures pour passer des unes à l'autre variant suivant les pays, les jurys ...
En existe-t-il une qui répondre à des critères "raisonnables" de qualité ?
Du paradoxe de Condorcet au théorème de Black en passant par le théorème de Arrow, des mathématiciens se sont
intéressés à ce type de questions.
L'actualité, le thème et la date de cet exposé ne sont pas pure coincidence.
Soit (Mn)n >0 une martingale d-dimensionnelle de carré intégrable pour une filtration (Fj), de processus quadratique prévisible associé < M > n=åj=1n \bE [ Mj - Mj - 1 | Fj - 1 ]. Lorsque < M > n/vn converge en probabilité pour une vitesse (vn)¥, la suite Mn/Ö{vn} est asymptotiquement de loi normale sous certaines conditions dites de Lindeberg.
Quand le comportement en grandes déviations de Mn/vn n'est pas connu, l'étude des déviations modérées s'avère intéressante, l'objectif étant de prouver un principe de grandes deviations (PGD) de vitesse (an) plus lente que (vn) (an\tinf,an=o(vn)) pour la martingale renormalisée Mn/Ö{anvn} (normalisations intermédiaires entre celles de la loi des grands nombres et celle du TLC). De tels "principes de déviations modérées" (PDM) ont en outre d'autres atouts (en dehors de cet aspect ßolution de secours en l'absence d'un PGD"), que nous mettrons en avant.
Le premier objectif de cet exposé sera de présenter des critères sous lesquels une martingale satisfait à un PDM. La preuve de ces résultats repose sur une méthodologie parallèle à celle utilisée pour prouver la convergence étroite d'une suite de mesures (tension + identification/unicité de la mesure limite, deviennent ici tension exponentielle et unicité du taux). Notre second objectif sera de présenter cette méthodologie (dont A.Pukhalskii est un contributeur notable), et notamment son application dans le cadre de la preuve de nos résultats.
Sous reserve du temps dipsonible, nous évoquerons la validité de ces résultats dans le cadre des versions "Donskerisées" de martingales, ainsi que les résultats que nous obtenons pour des martingales autonormalisées par leur processus croissant.
Nous étudions la distribution du maximum d'un modèle de Volatilité Stochastique (Yt)t à erreurs générales (GED). Cette classe de distribution déjà étudiée par Box et Tiao (1973) contient la distribution gaussienne. Nous montrons que le maximum correctement normalisé du logarithme (Yt2)t converge en distribution vers la loi double exponentielle. La distribution empirique du maximum normalisé est aussi étudiée et nous discutons l'importance des hypothèses et l'influence des paramètres du modèle sur cette convergence.
Soit X un processus de Levy à variation finie à valeurs dans Rn.
X peut s'écrire comme la somme de ses sauts auquel on peut ajouter éventuellement une dérive.
Nous définissons un `filet' comme étant une hypersurface que
X ne peut traverser qu'une seule fois.
Quand X dérive, il peut être attrapé par le filet.
Nous déterminerons la loi du couple :
(temps où X rentre dans le filet ,
position qu'il occupe à l'interieur du filet).
Quand X ne dérive pas, il passe presque-sûrement au travers du filet en sautant. Nous déterminerons la loi jointe du temps et de la position qu'il occupe alors.
Ces nouveaux résultats généralisent ceux sur la reptation des processus de Levy de dimension 1. Les formules obtenues sont étonnamment simples.
Bien entendu l'exposé sera ouvert aux non-probabilistes. Une des clefs de la démonstration est le théoreme de Stockes.
On s'intéresse aux solutions explosives à l'équation de Zakharov en dimension trois. Dans un premier temps, on montre l'existence de solutions pour un système elliptique susceptible de donner le profil asymptotique de solutions explosives. Ensuite on étudie la vitesse d'explosion pour une solution explosive.
Ce séminaire est répertorié dans Retour au début du programme ou
à la page d'accueil du
Laboratoire de Mathématiques Raphaël Salem
TEX
by
TTH,
version 2.89.
Cette page est maintenue par Elise JANVRESSE. Merci de rapporter tout problème survenu lors de
sa lecture.