Comme la donnée f est seulement intégrable, on utilise le
cadre des solutions renormalisées qui assure l'existence d'une solution
de (1)-(2). Sous des conditions de régularité des coefficients
de la matrice A on donnera un résultat d'unicité. En particulier
si les coefficients aij sont localement lipschitziens alors la
solution renormalisée de (1)-(2) est unique.
Jeudi
19 octobre 2000
Pierre JACOB (Université de Montpellier II)
Estimation fonctionnelle de frontières
Les résultats présentés, obtenus en collaboration avec
Stéphane Girard, concernent le problème général de
l'estimation d'un ensemble borné du plan, étant donné un
sous-ensemble fini, aléatoire, de points observés en son
intérieur.
On peut trouver une motivation à ce genre de questions en
classification, en imagerie médicale, en écologie, en
économétrie...
La richesse du thème provient du croisement entre les diverses
modélisations possibles de l'observation (échantillon, processus
ponctuel, champ aléatoire sur un réseau...) et les hypothèses
faites sur l'ensemble à estimer (ensemble convexe, domaine connexe
étoilé, morceaux de frontière, images...), conduisant à une
grande variété de réponses (enveloppes convexes, valeurs
extrêmes, estimateurs fonctionnels, détection de ruptures,
segmentation...).
Dans cet exposé, on suppose simplement que l'observation consiste en
la réalisation d'un processus ponctuel de Poisson dans un domaine
S = {(x,y) Î R2 ; 0 £ x £ 1, 0 £ y £ f(x)}, si
bien que l'estimation de S se réduit à celle de f. Ce sujet a
une longue histoire, qui remonte à un article de J. Geffroy (1964),
et à laquelle G. Gayraud a contribué.
Pour ce qui nous concerne, nous avons étudié les propriétés
d'estimateurs tels qu'on en rencontre de façon classique en
estimation de la densité, obtenus par la méthode des fonctions
orthogonales, ou par la méthode du noyau, avec toutefois la
particularité d'être basés non sur des valeurs moyennes locales
d'observations, mais sur des valeurs extrêmes locales des mêmes
observations.
Nous donnons divers resultats de convergence pour ces estimateurs,
et leurs lois limites. Pour la méthode des fonctions orthogonales,
nous distinguons le cas de la base de Haar et celui de la base C1,
en particulier pour la base trigonométrique. Tous ces estimateurs
ont un biais systématique que nous parvenons à réduire par une
méthode ad hoc. Une ou deux simulations illustreront l'exposé.
Jeudi
26 octobre 2000
Frédéric JEAN (ENSTA)
Mesure des chemins non horizontaux en géométrie sous-Riemanienne
En géométrie sous-riemannienne, seuls les chemins horizontaux,
i.e. tangents à la distribution, peuvent avoir une longueur finie.
Dans cet exposé nous nous intéresserons aux chemins
non-horizontaux : à partir de l'étude de deux invariants
métriques, l'entropie et
la complexité, nous verrons comment les mesurer et quelle est leur
dimension métrique.
Ces résultats sont basés sur une estimation uniforme des boules
sous-riemanniennes.
Novembre 2000
Jeudi
9 novembre 2000
Djamal LOUANI (Universités Paris II et Paris VI)
Normalité asymptotique en régression modale, application à la prévision des séries temporelles
Soit (Xn,Yn)n ³ 1 un processus stationnaire à valeurs dans Rd ×R.
On définit l'estimateur du mode conditionnel de Y1 sachant X1 = x comme la variable aléatoire
Qn(x) qui maximise l'estimateur de la densité conditionnelle de Y1 sachant X1 = x.
Nous établissons la normalité asymptotique de Qn(x) quand le processus (Xn,Yn)n ³ 1
est supposé fortement mélangeant (a-mélange).
Nous déduisons de ces résultats la normalité asymptotique de l'estimateur d'un predicteur relatif à la prévision
de processus markoviens
et proposons des bornes de confiance pour ce prédicteur ainsi que pour la fonction mode conditionnel.
Une étude par des simulations montre la qualité de cette normalité quand on est en présence d'échantillons
de tailles finies.
Jeudi
16 novembre 2000
Patrizia DONATO (Université de Rouen)
Convergence d'opérateurs monotones dans des ouverts perforés
Soit
We un domaine perforé par des trous répartis
avec la periodicité e
et de taille e. Il est bien connu que si ue
est solution du problème
-e2Due = f avec une condition de Dirichlet sur
¶We, alors, lorsque
e® 0, la suite
(ue) converge faiblement dans
L2(W) vers fw, où w est la valeur moyenne sur la
cellule de référence de la solution
périodique z de
-Dz = 1 qui s'annule sur le trou de référence. De plus, on
a une estimation d'erreur.
Ici, nous considérons des problèmes de Dirichlet avec
opérateurs monotones et homogènes
et nous introduisons une large classe de domaines perforés pour
lesquels on a le même type de
résultats.
Deux hypothèses principales sont faites. La première
consiste à supposer que la constante de l'inégalité
de Poincaré dans W01,p(We) est
d'ordre
e. La seconde suppose l'existence d'une famille
convenable de fonctions tests qui valent
zéro sur les trous (mais non nécessairement sur
¶W). Les résultats obtenus s'appliquent, par exemple,
à des domaines doublement
périodiquement perforés et à des domaines périodiquement
perforés dont les trous approchent
des ensembles fractals du type "flocons de neige".
(Travail réalisé en collaboration avec Colette PICARD, Université d'Amiens.)
Jeudi
23 novembre 2000
Mariko ARISAWA (Tohoku University, Japan)
Long time averaged reflection force and homogenization of the oscillating Neumann type BC
We are interested in the asymptotic limit of the solutions
ue (e > 0 is a parameter tending to 0) of the
problem below. Such a problem was introduced in the engineering to describe
the system in which a macroscopic size (ex. 10-1m) and a microscopic
size (ex. 10-7m) co-exist.
|
H(Ñue, Ñ2 ue) = 0 in We Ì R2, |
|
|
< ne(x),Ñue > +p(x, |
x1
e
|
)ue = q(x, |
x1
e
|
) on ¶We, |
|
(e > 0) where H is a fully nonlinear second-order uniformly
elliptic operator, the oscillating domain is
|
We = {(x1,x2)| x2 ³ f1(x1)+ef2(x1, |
x1
e
|
)}, |
|
p, q, f2 are periodic in
x = [(x1)/( e)],
and ne(x) is the outward unit normal on
We. The linear cases were considered by several
mathematicians such as A. Friedman and B. Hu.
Our view point to study the above problem is based on the ergodicity of the
underlying stochastic system to the Hamiltonian H. We present an ergodic
theorem concerned with the reflection force of the system on the boundary.
The above nonlinear homogenization problem with the oscillating
boundary condition is solved by using this ergodic theorem.
Jeudi
30 novembre 2000
Benoît RITTAUD (Université Paris 13)
Sur la distribution modulo 1 de (tnF(nQ))
Les problèmes de convergence ponctuelle de moyennes diagonales
pour des transformations du tore sont reliés à la distribution modulo 1
pour presque tout réel t de suites du type (tnF(nQ))n, où F :
Rd®R est Zd-périodique et Q Î Rd. Nous
montrons que ces suites sont équidistribuées (t-presque partout), ce qui
nécessite une analyse selon les propriétés diophantiennes de Q.
Décembre 2000
Jeudi
7 décembre 2000
Mariusz LEMANCZYK (Torun, Pologne)
Multiplicateurs en théorie ergodique
Nous allons démontrer que la classe des automorphismes qui
sont disjoints de tous les automorphismes faiblement mélangeants n'est pas
stable pour les couplages ergodiques, en répondant ainsi à une question de
E. Glasner et B. Weiss. Nous allons démontrer un résultat général
qui permet d'obtenir des multiplicateurs d'une classe d'automorphismes.
Comme application on obtient une amélioration de
quelques résultats classiques sur la disjonction, e.g.
tout automorphisme rigide est un multiplicateur de la classe
des automorphismes avec la propriété du mélange doux.
L'exposé est basé sur un travail commun avec Francois Parreau.
Jeudi
14 décembre 2000
Grzegorz Karch (Wroclaw, Pologne)
Selfsimilar large time asymptotics of solutions to nonlinear wave equations
In this talk, I shall present and discuss my recent results concerning
behavior of solutions of the Cauchy problems for some nonlinear equations.
One of the main examples is the generalized Korteweg-de Vries-Burgers equation
for the function u = u(x,t) where x Î R and t > 0.
I prove that, under appropriate
conditions imposed on f and on initial conditions, the large time
asymptotics of solutions to this equation is described by
the fundamental solution
of the heat equation given by the formula
|
G(x,t) = (4pt)-1/2exp(-x2/(4t)). |
|
A similar phenomena can be observed
in the case of the damped nonlinear wave equation:
|
utt-Du +ut +|u|p-1u = 0, x Î Rn, t > 0. |
|
Methods used in the proofs of this kind of results base on subtle estimates
of functions defined via the Fourier transform.
Janvier 2001
Jeudi
11 janvier 2001
Jérôme DEDECKER (Paris 6)
Conditions nécessaires et suffisantes pour le théorème limite central conditionnel
(Travail commun avec Florence MERLEVÈDE.)
Pour commencer, on rappelle la définition de la convergence stable (au sens de Rényi (1963)) d'une suite
de variables aléatoires, ainsi que quelques propriétés qui découlent de ce type de convergence
(cf. Aldous et Eagleson (1978)).
On présente ensuite une condition suffisante pour que les sommes
partielles normalisées issues d'une suite
strictement stationnaire convergent de façon stable vers un mélange
de lois gaussiennes. Cette condition équivaut en fait à une version forte
de la convergence stable des sommes partielles qu'on appelle ``théorème limite central conditionnel"
(ce théorème est un cas particulier d'un résultat plus général de convergence vers certaines
lois de poisson généralisées). Dans le cas causal, on montre que la plupart des critères
connus impliquent le théorème limite central conditionnel (comme, par exemple, les conditions issues
du théorème de Gordin (1969)). On donne enfin une version fonctionnelle de ce résultat qui
améliore et précise un résultat récent (cf. Dedecker et Rio (2000)).
Références :
- D. J. Aldous and G. K. Eagleson (1978), On mixing and stability of limit theorems.
Ann. Probab. 6 325-331.
- J. Dedecker and E. Rio (2000), On the functional central limit theorem for stationary
processes, Annales Inst. H. Poincaré Probab. Statist. 36 1-34.
- M. I. Gordin (1969), The central limit theorem for stationary processes,
Soviet Math. Dokl. 10 1174-1176.
- A. Rényi (1963),
On stable sequences of events, Sankhya Ser. A 25 189-206.
Jeudi
18 janvier 2001
Adam JAKUBOWSKI (Torun, Pologne)
Rough stochastic analysis
We show that the theory of stochastic integral when
restricted to integration of left-continuous versions of regular
processes has the following properties:
- admits Riemann-like definition of the stochastic integral;
- covers significant part of the general case;
- mostly operates with objects depending on ``finite dimensional
distributions";
- possesses very nice continuity properties, and thus allows
efficient modelling with
the use of stochastic integrals;
- provides explicit numerical methods for solving stochastic
differential equations, schemes involving the Skorokhod problem
and other topics;
- provides rigorous results for simulation.
We illustrate the above with discussion of the error of the
approximation of Lévy processes and the problem of
radonification of weak semimartingales.
Jeudi
25 janvier 2001
Yves DERRIENNIC (Université de Bretagne Occidentale
Théorèmes limite conditionnés par la sortie pour une marche aléatoire
Pour une marche aléatoire ou une diffusion ayant une frontière de sortie
non triviale on peut chercher à établir les théorèmes limite, loi des
grands nombres, théorème limite central..., conditionnellement au point
atteint dans la frontière. Dans le cas d'une marche aléatoire élémentaire
sur le groupe libre les calculs explicites sont possibles. Alors un TLC qui
est vérifié pour la loi a priori, ne l'est pas p.s. pour la loi
conditionnée par le point atteint dans la frontière.
Février 2001
Jeudi
1er février 2001
Élie Youndjé (Rouen)
Deconvolution of a Density and the Inversion of a Laplace Transform
This talk is composed of four parts. In the first part the deconvolution
kernel estimator is introduced. The second part presents the asymptotic
equivalence of quadratic measure of errors for the deconvolution
estimates. A data driven bandwidths selector based on cross-validation
is introduced in the third part and proved to be
asymptotically optimal. In the final part, it is shown that the problem
of inverting a Laplace transform can be reduced to that of deconvolving
a density. Using this idea, the estimates (for inverting a Laplace
transform) are set and shown to be consistent in many stochastic modes
including in mean square and almost sure.
Jeudi
8 février 2001
Rym WORMS (Université de Marne-la-Vallée)
Vitesses de convergence pour l'approximation des queues de distributions
On dit qu'une loi de fonction de répartition F est dans le domaine d'attraction d'une loi des extrêmes Hg, où g est un paramètre réel, si :
il existe deux suites normalisantes (an) (dans R) et (sn)
(dans R+), telles que
|
"x Î R, |
lim
n ® +¥
|
Fn (sn x +an) = Hg (x), |
| (1) |
Cette condition peut s'exprimer de manière équivalente sous la forme :
il existe une fonction s strictement positive telle que
|
|
sup
x Î [0,s+(F)-u[
|
| |
_
F
|
u(x) - |
_
G
|
g ( |
x
s(u)
|
) | |
u ® s+(F)
®
|
0, |
| (2) |
où [`F]u est la fonction de survie de la loi des excès au delà d'un seuil u, définie par
[`F]u(x) = [(1-F(x+u))/( 1-F(u))],
s+(F) = sup{ x; F(x) < 1 } est la borne supérieure du support de F et
[`G]g est la fonction de survie d'une loi de Pareto Généralisée.
Beaucoup d'auteurs se sont intéressés à l'étude de la vitesse de convergence, au sens de la convergence uniforme pour la loi des extrêmes, c'est à dire en utilisant (1) .
Cependant, aucune étude, n'existait concernant la vitesse de convergence de la loi des excès, c'est à dire en utilisant (2) .
Nous étudions, de façon plus générale, la vitesse de convergence vers 0, au sens de la convergence uniforme, de l'écart
[`F]u(x) - [`G]g ( [(x+u-a(u))/( s(u))] ),
pour des fonctions normalisante a et s appropriées.
Nous montrons que la vitesse obtenue est optimale, c'est-à-dire que l'on ne peut pas l'améliorer avec un autre choix de fonctions normalisantes
Nous étudions également la vitesse de convergence de l'erreur relative d'approximation d'un quantile extrême qa (défini par F(qa) = 1-a et a petit), quand a tend vers 0, lorsqu'on utilise l'approximation de la loi des excès par la loi de Pareto Généralisée limite.
Jeudi
15 février 2001
Antonio GALVES (Université de Sao Paulo)
Problèmes statistiques en linguistique
La parole humaine est supportée par un signal acoustique d'une grande
complexité. En effet, ce signal n'est pas stationnaire et peut, en
outre, changer en fonction de la vitesse ou de l'intensité de
l'énonciation et de la tessiture de la voix du locuteur.
En conséquence les motifs rythmiques d'une langue naturelle se sont
jusqu'à présent dérobés à toute analyse statistique et la
notion même de rythme de la langue était mal définie.
Dans cette présentation, je parlerai des recherches récentes sur
le sujet qui permettent, pour la première fois à ma connaisance, de
donner une base experimentale à la notion de classe rythmique. Il
sera question aussi des problèmes que le traitement de ces données
expérimentales posent à la théorie statistique.
Mars 2001
Jeudi
1er mars 2001
Liliana GRATIE (University of Galatzi, Romania)
Asymptotic analysis for generalized Von Karman plates
These results represent a joint work with Professor P.G. Ciarlet (see [2],
[3]). In a previous work (see [1]), P.G. Ciarlet has identified
three-dimensional boundary conditions of von Karman's type that lead,
through a formal asymptotic analysis of the three-dimensional solution, to
the classical von Karman equations, when they are applied to the entire
lateral face of a nonlinearly elastic plate. Now, we consider the more
general situation where only a portion of the lateral face is subjected to
boundary conditions of von Karman's type, while the remaining portion is
subjected to boundary conditions of free edge. We then show that the
asymptotic analysis of the three-dimensional solution still leads in this
case to a two-dimensional boundary value problem that is analogous to the
von Karman equations. In particular, the boundary conditions for the Airy
function can still be determined solely from the data. The same method of
formal asymptotic expansions can be also applied (see[4]) for getting the
generalized
Marguerre-von Karman equations for a nonlinearly elastic shallow shell.
References
[1] Ciarlet P.G., A justification of the von Karman equations, Arch.
Rational Mech Anal. 73 (1980), 349-389.
[2] Ciarlet P.G.; Gratie L.,Équations de von Karman generalisées, C. R.
Acad. Sci. Paris, t. 331, Ser. I, 329-335, 2000.
[3] Ciarlet P.G.; Gratie L., Generalized von Karman equations, J. Math.
Pures Appl., 2001 (to appear).
[4] Gratie L., Generalized Marguerre-von Karman equations for a nonlinearly
elastic shallow shell, (to appear).
Jeudi
8 mars 2001
Arnaud Le Ny (Université de Rouen)
Problèmes thermodynamiques pour des mesures non-gibbsiennes
La détection de phénomènes non-gibbsiens, lors de
transformations spatiales de mesures de Gibbs notamment, a permis
l'introduction de nouvelles notions visant à restaurer le
formalisme gibbsien, telles que la gibbsiannité faible ou la presque
quasilocalité. La restauration ne pourrait être satisfaisante
sans un rétablissement des propriétés dites ``thermodynamiques''
pour ces mesures, i.e. sans l'existence d'une entropie, d'une pression
ou d'un principe variationnel. Nous rappellerons les
propriétés thermodynamiques des mesures de Gibbs et présenterons
quelques résultats récents pour certaines restaurations.
Références
- [1]
- J.Bricmont, A.Kupiainen, R.Lefevere. Renormalization
Group Pathologies and the Definition of Gibbs States,
Commun. Math. Phys 194:359-388, 1998.
- [2]
- A.C.D.van Enter, R.Fernández, and A.D.Sokal. Regularity
properties and pathologies of position-space renormalization-group
transformations: Scope and limitations of Gibbsian theory. J.
Stat. Phys. 72:879-1167, 1993.
- [3]
- C.Maes, F.Redig and A.Van Moffaert.
Almost Gibbsian versus Weakly Gibbsian.
Stoch.Proc.Appl. 79, no 1:1-15, 1999.
Jeudi
15 mars 2001
Diana BALTEAN (Université de Vest din Timisoara, Roumanie)
Application de la méthode d'homogénéisation aux problèmes de transport dans les milieux multiporeux
Les milieux poreux sont des milieux hétérogènes diphasiques ou polyphasiques,
qui possèdent une microstructure qui rend difficile l'étude des phénomènes de
transport. Parmi les exemples classiques de tels milieux, on peut citer les massifs de roches volcaniques fissurés, les massifs argileux, les champs pétrolifères, certains filtres de traitement de l'eau, etc... Les problèmes de transport de masse dans ces milieux font l'objet d'une abondante littérature compte-tenu de l'importance des applications pratiques : la mécanique des sols, l'industrie pétrolière, l'industrie chimique, les problèmes industriels de la purification de l'eau, etc...
Pour pouvoir étudier des phénomènes dans de tels milieux on remplace généralement le milieu hétérogène par un milieu homogène
de sorte que le comportement global du milieu hétérogène soit équivalent au
comportement du milieu homogène à l'échelle macroscopique.
Le but des travaux présentés lors du séminaire est de construire des modèles macroscopiques pour le transport d'un contaminant passif par convection et diffusion, dans les milieux poreux, contenant ou non des inclusions rigides imperméables ou des cavités remplies de fluide.
La méthode employée est celle d'homogénéisation des milieux périodiques, mise en forme par Sanchez-Palencia (1980), qui utilise des idées de la méthode asymptotique des échelles multiples, jointes à des techniques
d'équations aux dérivées partielles pour l'étude des phénomènes locaux. On étudie les problèmes de convection-diffusion dans les milieu poreux périodiques dans divers cas physiquement pertinents (différents régimes d'écoulement et différentes structures du milieu poreux). On obtient l'équation macroscopique vérifiée par la concentration du traceur ainsi que les coefficients macroscopiques de diffusion qui dépendent de la microstructure du milieu.
À titre d'application, on évalue les coefficients macroscopiques pour plusieurs géométries de la microstructure, en résolvant numériquement les problèmes locaux associés (avec la méthode des éléments finis) en 2D et 3D.
Jeudi
22 mars 2001
Michel GRANDCOLAS (Université de Metz)
Problèmes sur les diamètres des convexes et entiers algébriques
Jeudi
29 mars 2001
Sylvia ANICIC (Université Joseph Fourier, Grenoble)
Modèle bidimensionnel de coque avec plis rectilignes
On considère la formulation bidimensionnelle exacte du modèle de coque 3D de
Kirchhoff-Love [1]. Ce modèle est basé sur les hypothèses de
Kirchhoff-Love et sur
max(||1/R1||¥,||1/R2||¥) < 2/h, où 1/R1 et 1/R2 sont les courbures principales
de la surface moyenne. L'objet de l'exposé est de décrire le comportement asymptotique de ce modèle lorsque
le rayon de courbure R tend vers h/2 sur une portion cylindrique de la surface
moyenne. Le problème limite que l'on obtient est un modèle bidimensionnel de
coque pliée.
Références
- [1]
- Anicic, S.; Léger, A., 1999 : Formulation bidimensionnelle
exacte du modèle de coque 3D de Kirchhoff-Love, C.R. Acad. Sci. Paris, 329, Série I, pp. 741-746.
Avril 2001
Jeudi
5 avril 2001
Karine TRIBOULEY (Paris Sud)
Statistique non paramétrique: intervalle de confiance pour f(x0)
On s'intéresse au problème de donner un intervalle de confiance
adaptatif (c'est-à-dire ne dépendant que des données) pour la
quantité inconnue
q = f(x0) où x0 est un point donné et où
f est le paramètre fonctionnel inconnu dérivant d'un modèle de
régression ou de densité. Des statistiques pivotales sont construites
à partir d'estimateurs adaptatifs de f: la méthode de seuillage (ref:
Donoho et al.) et la méthode de lissage aléatoire (ref: Lepskii) sont
considérées.
Le critère d'optimalité choisi est défini à partir de l'erreur de
couverture. Sous des hypothèses plus contraignantes que dans le cadre de
l'estimation, il est démontré qu'il est possible de construire des
intervalles adaptatifs et "presque" optimaux (à un log facteur près)
à tous les ordres pour le problème de la régression et aux 2 premiers
ordres pour la densité. Il est montré de plus, que la méthode par lissage
aléatoire est meilleure que la méthode de seuillage vis à vis du biais
introduit. Rappelons que ces deux estimateurs sont comparables sous l'angle de
la théorie minimax.
Jeudi
12 avril 2001
Christophe POUET (Université de Provence)
Tests asymptotiquement minimax pour une hypothèse nulle composite dans les modèles de densité et de bruit blanc gaussien
On considère les modèles classiques de bruit blanc Gaussien (la fonction de régression f est le paramètre inconnu,
le paramètre asymptotique est le niveau de bruit e) et de densité (la densité f est le paramètre inconnu,
le paramètre asymptotique est la taille de l'échantillon n). On adopte le point de vue minimax pour étudier le problème
de test d'une hypothèse nulle composite (i.e. f Î SQ avec SQ ensemble de fonctions indexé par
Q Ì Rk) contre une alternative non-paramétrique. En imposant des conditions de régularité sur la fonction inconnue f, on
parvient à calculer la vitesse minimax de test et à définir une procédure de test asymptotiquement optimale
(ces concepts seront définis au cours de l'exposé).
La vitesse est identique à celle trouvée dans le cas d'une hypothèse nulle simple
par Y.I. Ingster (Minimax hypothesis testing for nonparametric alternatives, I, II,
III, Mathematical Methods of Stat. 2 (1993) pp. 85-114, 171-189, 249-268).
Mai 2001
Jeudi
10 mai 2001
Serguei DOVBYCH (Moscou)
Homoclinic orbits and non-integrability
From the H. Poincaré's time it is known that the existence of homoclinic
orbits leads in general to the existence of very complicated dynamics.
In this lecture I will explain two classical results in this area :
the V.M. Alekseev theorem (1969) and the R. Cushman-V.V. Kozlov theorem
(around 1980).
L'exposé d'Olivier PANTZ, prévu initialement ce jour,
est reporté à une date ultérieure.
Jeudi
17 mai 2001
Wendelin WERNER (Paris Sud)
Courbes planes aléatoires
Comprendre le comportement de certaines très longues courbes
aléatoires dans le plan est une question d'apparence simple
qui s'avère soulever des problèmes profonds et souvent
non-résolus par les mathématiciens.
Par exemple, parmi les conjectures des physiciens
theoriciens sur ces problèmes (Cardy, Duplantier, Nienhuis...),
la prédiction que le nombre de chemins auto-evitants de longueur
N sur le graphe ZxZ croî t asymptotiquement comme N11/32 CN
pour une constante C est encore non prouvée à ce jour.
Le but de cet exposé est de donner une introduction générale
à ce sujet, et de présenter quelques progrès récents: plusieurs
conjectures sur divers modèles
(marches a boucles effacées, percolation
critique, marches aléatoires) ont été démontrées par R. Kenyon,
par S. Smirnov,
par G. Lawler, O. Schramm et W. Werner.
Jeudi
31 mai 2001
Andrey PIATNITSKY (Lebedeev Physical Institute, Moscou)
Homogenization of Fourier boundary value problem in perforated domain
Given a perforated domain with periodic or locally periodic
microstructure, we consider homogenization problem for
the Poisson equation with Fourier boundary condition at
the border of holes. We suppose that the volume fraction of
the holes is uniformly positive, the coefficient of
the boundary condition is of order one and the average of
this coefficient over the surface of each hole vanishes,
i.e. the boundary condition stated on holes is asymptotically
neutral.
We construct the homogenized problem and study the convergence.
Juin 2001
Jeudi
7 juin 2001
Daniel UELTSCHI (Université de Princeton)
La théorie de Pirogov-Sinaï des transitions de phases du 1er ordre
La théorie de Pirogov-Sinaï permet de décrire les diagrammes
de phases et les états d'équilibre de nombreux modèles de
physique statistque, tant classiques que quantiques. Cette revue
décrira le formalisme général, les questions essentielles, et les
réponses données par la théorie de Pirogov-Sinaï. Deux
exemples seront discutés en détail à titre d'illustration : le
modèle d'Ising, qui a exactement deux états de Gibbs ``purs''
à basse température, et un système de bosons sur réseau
(modèle de Bose-Hubbard).
Jeudi
14 juin 2001
Serge PERGAMENCHTCHIKOV (Université de Rouen)
Estimation séquentielle non paramétrique du coefficient de dérive d'un processus de diffusion
On considére le problème d'estimation d'une
fonction inconnue S(·) au point fixé x0
lorsqu'on observe le processus
où la fonction S(·) est lipschitzienne et appartient à
SL,g
|
SL,g={S: |S(0)| £ L, -L £ |
S(x)-S(y)
x-y
|
£ -g, " x , y Î R }. |
|
Pour résoudre ce problème on propose l'estimateur à noyau séquentiel
|
S*c(x0)= |
1
c
|
|
ó
õ
|
tc
0
|
Q |
æ
ç
è
|
yt-x0
h
|
ö
÷
ø
|
d yt, |
|
|
tc= |
inf
| {t ³ 0: |
ó
õ
|
t
0
|
Q |
æ
ç
è
|
yt-x0
h
|
ö
÷
ø
|
d t ³ c}, |
|
où c est un paramètre positif, h est la largeur de la fenêtre,
Q(z)=c{|z| £ 1}, cA est l'indicatrice de l'ensemble A.
On démontre que
l'estimateur séquentiel est meilleur au sens non asymptotique
que l'estimateur non séquentiel.
Les propriétés asymptotiques (c®¥) du temps d'arrêt
tc et de l'estimateur S*c sont étudiées.
On a trouvé les frontières
inférieures pour les risques asymptotiques pour les procédures
séquentielles. On montre que la procédure
(S*c(x0), tc, c > 0) est asymptotiquement
optimale au sens minimax.
Jeudi
21 juin 2001
Yoshinori MORIMOTO (Kyoto University)
The expansion formula of the product of Wick operators and its application on the Cauchy problem for some dispersive equations
In this talk, we first introduce the Wick calculus
used by Lerner [1] and investigate
the algebra for the Wick calculus more precisely than there.
Especially we give the following expansion formula of the product
of Wick operators similar to that of Weyl pseudo-differential
operators;
|
aWick bWick = (ab)Wick - |
1
2
|
|
æ
ç
è
|
a¢·b¢- |
1
i
|
{a,b} |
ö
÷
ø
|
Wick
|
+ ¼ |
|
|
+ |
(-1)k
2k k!
|
|
æ
ç
è
|
|
æ
ç
è
|
2n
å
j=1
|
¶Xj ¶Zj + |
HXj
i
|
¶Zj |
ö
÷
ø
|
k
|
a(X)b(Z) |
ê
ê
ê
|
Z=X
|
ö
÷
ø
|
Wick
|
+ ¼ , |
|
where, for a(x,x)=a(X) ,( X Î Rnx×Rnx), we define
aWick=aWick(x,D) on L2(Rn) by
|
|
|
aWick(x,D)u(x) = (W* am Wu)(x) for u Î L2(Rn) . |
|
|
|
|
Here
(Wu)(Y) = (Wu)(y,h) is a windowed Fourier transform of u Î L2(Rn)
defined by
|
|
|
(Wu)(Y)= |
ó
õ
|
Rn
|
|
gY(x)
|
u(x)dx ,gY(x) = eixhg(x-y), with a Gauss function g , |
|
|
|
|
am is the
multiplication operator by a(Y) on L2(R2n)
and W* is the adjoint operator of
W.
As an application of the expansion formula,
we consider the Cauchy problem for some
dispersive equations, which is motivated by the works of Mizohata[2,3] and
Doi[4] on the L2 well-posedness of the same problem
for Schrödinger type equations. The content of this talk is
based on the joint work with H. Ando.
References
- [1]
- N. Lerner, The Wick calculus of pseudo-differential
operators and energy estimates,
"New trends in microlocal analysis" (
J.M. Bony and
M. Morimoto, eds.), Springer-Verlag, Berlin, Heiderberg, New York,
Tokyo (1996), 23-37.
- [2]
- S. Mizohata, On some Schrödinger type equations,
Proc. Japan Acad. 57 Ser A (1981), 81-84.
- [3]
- S. Mizohata, On the Cauchy problem, Academic Press (1985).
- [4]
- S. Doi, On the Cauchy problem for Schrödinger type equations
and the regularity of the solutions, J. Math. Kyoto Univ. 34 (1994), 319-328.
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TTH,
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