De la marche aléatoire au mouvement brownien

Du discret au continu

Le mouvement brownien, observé et décrit par le biologiste Robert Brown au dix-neuvième siècle, a été (et est encore actuellement) l'objet d'une quantité considérable de travaux scientifiques. De très grands mathématiciens en ont proposé et étudié une version «idéale», appelée processus de Wiener (du nom de Norbert Wiener, qui a complètement défini la loi de probabilité qui régit son évolution). Les propriétés du processus de Wiener sont assez étranges : en particulier, ses trajectoires sont continues (pas de saut) mais elles sont si tortueuses qu'en aucun point on ne peut en tracer une tangente (elles ne sont nulle part dérivables). Ce processus est donc assez difficile à concevoir directement...

On peut néanomoins se faire une bonne idée de ce qu'est le processus de Wiener en le voyant comme une limite de marches aléatoires, qui sont plus faciles à comprendre. Contrairement au mouvement brownien qui se déplace de manière continue dans le plan, la marche aléatoire «classique» procède par sauts et ne vit que sur un réseau discret : l'ensemble des points du plan à coordonnées entières. Chacun des sauts de la marche se fait sur l'un des quatre voisins immédiats du point où l'on se trouve, en tirant au sort avec probabilité 1/4 pour chacune des directions est, ouest, nord ou sud.

Sur cette marche aléatoire «classique», on opère un premier changement d'échelle, qui affecte à la fois le temps et l'espace : la longueur de chaque saut est divisée par 2 (la nouvelle marche se déplace donc sur l'ensemble des points à coordonnées multiples de 1/2), tandis que la fréquence des sauts est multipliée par 4. On peut montrer que ce double changement d'échelle ne change pas l'ordre de grandeur du déplacement de la marche pendant un intervalle de temps donné : l'augmentation de la fréquence des sauts compense exactement la réduction de leur taille.

On peut opérer le même type de changement d'échelle sur la nouvelle marche aléatoire : on se déplace alors par sauts de longueur 1/4, à une fréquence 16 fois plus élevée que pour la marche classique. Continuons ainsi à changer d'échelle, de sorte que le réseau sur lequel se déplace la marche soit de plus en plus fin, tandis que la vitesse moyenne de déplacement reste constante. Ce que l'on obtient à la limite est précisément le processus de Wiener.

Le programme

Le programme proposé ici a été conçu pour illustrer la conférence Le mouvement brownien. Il a été écrit en C++ pour visualiser sur l'ordinateur ce passage de la marche aléatoire au mouvement brownien par changements d'échelle successifs. Au départ, on observe l'évolution d'une marche aléatoire «classique», dont les sauts sont bien visibles. Puis, chaque clic sur le bouton «Échelle» multiplie par 4 la fréquence des sauts, tout en divisant par 2 la longueur d'un pas à l'écran. En itérant plusieurs fois ce changement d'échelle, on arrive à un stade où l'on ne distingue plus les différents sauts : l'évolution du processus semble continue. Cela donne une idée de ce qu'est le processus de Wiener dans le plan.

Comment installer ce programme sur un système GNU/Linux

La compilation de ce programme nécessite :

• un compilateur C++, (g++ par exemple)
• La librairie Qt4 pour x11, téléchargeable gratuitement sur le site de Trolltech (des packages tous faits existent aussi pour la plupart des distributions linux).

Commencer par télécharger l'archive compressée. Se placer dans le répertoire où l'archive a été enregistrée, et extraire cette archive par unzip marche_aleatoire.zip[ENTRÉE] Aller dans le sous-répertoire Marche_aleatoire ainsi créé : cd Marche_aleatoire[Entrée], puis taper qmake[Entrée], puis make[Entrée]. Vous devriez alors disposer du fichier exécutable «Marche_aleatoire».

Comment installer ce programme sur un système Windows

Il vous faut aussi :

• un compilateur C++,
• La librairie Qt4 pour Windows, téléchargeable gratuitement sur le site de Trolltech.

Télécharger l'archive compressée. Décompresser l'archive, et dans le répertoire Marche_aleatoire qui contient le projet, créer un compilateur.bat (fichier bloc note à renommer en .bat) contenant les lignes suivantes : qmake -o Makefile Marche_aleatoire.pro qmake make cd debug Marche_aleatoire.exe cd.. Ce compilateur est alors à executer sous dos dans le répertoire du projet.