Title : Abelian Sandpile Models in Infinite Volume.

Titre : Modèles de tas de sable abéliens en volume infini.

Année : 2004

Référence : preprint.

Key-words : Sandpile dynamics, Nonlocal interactions, Interacting particle systems, Thermodynamic limit.

Mots-clefs : Dynamique de tas de sable, interactions non locales, systèmes de particules en interaction, limite thermodynamique.

Classification AMS 2000 : 60K35, 82C22

Résumé :

Depuis son introduction par Bak, Tang et Wiesenfeld, le modèle de tas de sable abélien a été étudié intensivement en volume fini. L'existence d'une dynamique de tas de sable en un volume infini S pose de nombreux problèmes: sa mesure invariante devrait être la limite thermodynamique (si elle existe) des mesures stationnaires du modèle de tas de sable en volume fini; l'extension de l'opérateur d'addition de grains de sable en volume infini est liée aux effets de bord de la dynamique en volume fini; enfin, la difficulté cruciale pour construire un processus de Markov en volume infini vient de ce que, à cause des avalanches de sable, l'interaction est à longue portée, donc on ne peut pas utiliser le théorème de Hille-Yosida. Dans cet article de revue, nous rappelons les résultats sur le modèle en volume fini dont nous avons besoin, puis nous expliquons comment traiter le volume infini quand S=Z, S=T est un arbre infini, S=Z^d pour d grand, et quand la dynamique est dissipative (i.e. des grains de sable peuvent disparaitre à chaque ``toppling'').

Abstract :

Since its introduction by Bak,Tang and Wiesenfeld, the abelian sandpile dynamics has been studied extensively in finite volume. There are many problems posed by the existence of a sandpile dynamics in an infinite volume S: its invariant distribution should be the thermodynamic limit (does the latter exist?) of the invariant measure for the finite volume dynamics; the extension of the sand grains addition operator to infinite volume is r elated to the boundary effects of the dynamics in finite volume; finally, the crucial difficulty of the definition of a Markov process in infinite volume is that, due to sand avalanches, the interaction is long range, so that no use of the Hille-Yosida theorem is possible. In that review paper, we recall the needed results in finite volume, then explain how to deal with infinite volume when S=Z, S=T is an infinite tree, S=Z^d with d large, and when the dynamics is dissipative (i.e. sand grains may disappear at each toppling)