Auteur : de la RUE Thierry (Laboratoire de Mathématiques Raphaël Salem, Rouen)

Titre : Exemples et contre-exemples à la convergence presque sûre de martingales bilatérales bornées

Title : Examples and counterexamples to almost-sure convergence of bounded bilateral martingales

Année : 2002

Référence : publié (en anglais) au New-York Journal of Mathematics, vol 8 (2002), pages 133-144

Mots-clefs : martingale à deux indices, processus générateur, convergence presque sûre

Key-words : two-parameter martingale, generating process, almost-sure convergence

Classification AMS 2000: 37A50, 60G48

Résumé :

Etant donnés un processus stationnaire (X_p)_pÎZ et un ensemble B Î s(X_p, pÎZ), on étudie la convergence presque sûre quand n et m tendent vers l'infini de la martingale bilatérale

E[1B | X-n, X{-n+1},...,X{m-1},Xm].

On vérifie que cette martingale converge presque sûrement dans le cas de certains processus classiques comme les processus i.i.d, ou le processus définissant naturellement la transformation de Chacon. Au contraire, on montre que dans tout système dynamique apériodique d'entropie finie, il existe un processus générateur et un ensemble B mesurable pour lesquels la convergence presque sûre de cette martingale bilatérale est mise en défaut.

Abstract :

Given a stationary process (X_p)_pÎZ and an event B Î s(X_p, pÎZ), we study the almost sure convergence as n and m go to infinity of the bilateral martingale

E[1B | X-n, X{-n+1},...,X{m-1},Xm].

We show that almost sure convergence holds in some classical examples such as i.i.d. or Markov processes, as well as for the natural generator of Chacon's transformation. However, we also prove that in every aperiodic dynamical system with finite entropy, there exists a generating process and a measurable set B for which the almost sure convergence of the bilateral martingale does not hold.