Auteur : Elise Janvresse

Titre : Approach to Equilibrium for Kac's Master Equation.

Année : 2001

Référence : à paraître

Mots-clefs : Convergence à l'équilibre, Trou spectral, Modèle de Kac, Equation de Boltzmann.

Key-words : Convergence to equilibrium, Spectral gap, Kac's model, Boltzmann equation.

Classification AMS 1970 : 60Jxx, 82B41.

Résumé :

Nous considérons une chaîne de Markov sur la sphère S^n-1(1) de dimension (n-1) générée par des rotations aléatoires. Cette dynamique a été utilisée par Marc Kac pour modéliser l'équation de Boltzmann homogène. Si l'on suppose que la distribution initiale est produit, Kac a montré la ``propagation du chaos'', i.e. que cette propriété restait valide à tout instant à la limite $n \rightarrow \infty$. Une fois ceci prouvé, on peut montrer que la densité marginale d'une particule vérifie un analogue de l'équation de Boltzmann. Les propriétés spectrales de l'opérateur de collision de l'équation de Boltzmann sont très importantes pour la comprendre. Cet opérateur étant généré par le modèle de Kac, il est intéressant de connaître l'ordre de grandeur du trou spectral, que Kac conjectura être 1/n.
Après avoir rappelé l'idée de la démonstration de la conjecture de Kac et la généralisation de cette marche aléatoire sur SO(n), nous discutons de d'autres façons de mesurer la vitesse de convergence à l'équilibre de l'équation de Kac (L.S.I., dissipation d'entropie).

Abstract :

We consider the random walk on S^n-1(1), the (n-1)-dimensional sphere of radius 1, generated by random rotations on randomly selected coordinate planes i, j with $1\le i < j \le n$. This dynamics was used by M. Kac as a model for the spatially homogeneous Boltzmann equation. If we assume that the initial distribution is of product form, Kac proved that this property remains valid for all time in the limit $n \rightarrow \infty$. In modern terminology, Kac proved the ``propagation of chaos''. Once propagation of chaos is proved, it is straightforward to show that the marginal density of a particle satisfies the analog of a Boltzmann equation. Clearly, the spectral properties of the collision operator of the Boltzmann equation is of critical importance to understand it. Since this collision operator is generated by Kac's process, a very basic property is the size of the spectral gap, which Kac conjectured to be of order 1/n.
After recalling the idea of the proof of Kac's conjecture and the generalisation to the same walk on SO(n), we discuss other ways of measuring the rate of convergence to equilibrium for Kac's Master Equation (L.S.I., entropy dissipation bound).