Le groupe de travail Théorie Ergodique et Systèmes Dynamiques a lieu certains vendredis, de 9h30 à 11h00 dans la salle de séminaire M.0.1 (rez-de-chaussée).

Programme

16 octobre 2009 Thierry de la Rue (Rouen) Théorème ergodique multiple d'Austin et extensions saturées Le théorème ergodique en moyenne pour une transformation préservant une mesure finie a été montré par Von Neumann en 1932. Depuis, de nombreux tentatives ont visé à généraliser ce résultat au cas de plusieurs transformations qui commutent. La convergence des moyennes ergodiques dans L2 dans le cas général de d transformations qui commutent n'a été prouvée pour la première fois qu'en 2008 par Terence Tao. Peu de temps après, Tim Austin en a donné une nouvelle preuve très élégante, qui utilise la théorie des couplages, des facteurs et des extensions. Le but de cet exposé est de présenter cette preuve, en donnant notamment un argument général prouvant l'existence d'une «extension saturée», notion clé du travail d'Austin.

30 octobre 2009 Thierry de la Rue (Rouen) Théorème ergodique multiple d'Austin et extensions saturées (suite et fin) Cette deuxième partie est consacrée à la preuve de l'existence, dans un cadre assez général, d'une «extension saturée». Soit C une classe de systèmes dynamiques, que l'on suppose stable par l'opération de couplage dénombrable : si (Xi) est une famille dénombrable de systèmes dans la classe C, tout système isomorphe à un couplage des Xi est encore dans la classe C. On montre dans un premier temps que tout système X admet un facteur maximum XC dans la classe C. On dit ensuite que le système est «C-saturé» si tout couplage de X avec un système dans la classe C est relativement indépendant au-dessus du C-facteur maximum XC. Le résultat principal de l'exposé est que tout système dynamique possède une extension C-saturée, ce qui permet de conclure la preuve du théorème d'Austin.

13 novembre 2009 Dalibor Volný (Rouen) Théorèmes limites annealed et quenched Toute suite (strictement) stationnaire peut être representée comme une fonctionnelle d'une chaîne de Markov. On va parler des processus g(Xi), (Xi) étant une chaîne de Markov stationnaire. Le théorème limite est dit «annealed» s'il a lieu pour la mesure stationnaire ν de la chaine. S'il reste vrai pour ν-presque tout point de depart, il est dit «quenched». Les applications concernent les domaines des marches aléatoires en milieu aléatoire, des systèmes infinis de particules (nos collègues connaissent le problème très bien mais sous un autre nom), et des Monte Carlo Markov Chains (MCMC). Souvent, les théorèmes pour les chaînes de Markov peuvent être démontrés en utilisant les martingales. Je vais examiner plusieurs résultats connus et examiner s'ils sont quenched ou non. Certaines problèmes restent ouverts, en particulier si le théorème de Kipnis-Varadhan est quenched.

11 décembre 2009 Dalibor Volný (Rouen) Théorèmes limites annealed et quenched (suite et fin)

18 décembre 2009 Mohamed El Machkouri (Rouen) Décomposition «martingale-cobord» pour les champs aléatoires. La décomposition «martingale-cobord» initiée par Gordin (1969) permet, sous une hypothèse projective, l'approximation de sommes partielles d'un processus stationnaire par une martingale. Cette technique permet (par exemple) de déduire du TLC de Billingsley-Ibragimov (pour les martingales) un TLC pour les processus stationnaires mélangeants. Nous nous proposons ici de présenter une extension de cette méthode à des champs aléatoires. (Exposé annulé pour cause d'intempéries !)

15 janvier 2010 Sophie DEDE (LPMA, Paris 6) Un Théorème Limite Central empirique dans L1 pour des suites de variables aléatoires stationnaires. Nous nous intéressons ici au Théorème Limite Central pour la distance L1 de Wasserstein, entre la fonction de répartition et la fonction de répartition empirique correspondante pour une suite de variables aléatoires stationnaires.
Dans la littérature, de nombreux travaux sur la distance de Kantorovitch ou L1 de Wasserstein, existent pour des variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées (cf en particulier, l'article de del Barrio, Giné et matran). Notre résultat principal consiste à généraliser leur Théorème 2.1, au cas des suites de variables aléatoires stationnaires, sous des conditions de dépendance appropriées. Soit L1(μ)=L1(T,μ), avec μ une mesure σ-finie, l'espace de Banach des fonctions réelles μ-intégrables sur T.
Après avoir énoncé le Théorème Limite Central pour des suites de variables aléatoires stationnaires ergodiques de différences de martingales dans L1(μ), nous en déduirons, grâce à une approximation par des différences de martingales, un Théorème Limite Central pour des suites de variables aléatoires stationnaires ergodiques à valeurs dans L1(μ), et satisfaisant des conditions projectives.
Ceci nous permet d'aboutir à un Théorème Limite Central pour des statistiques du type distance L1 de wasserstein entre la fonction de répartition et la fonction de répartition empirique pour d'importantes classes de suites de variables aléatoires stationnaires. En particulier, nous donnerons des applications aux systèmes dynamiques et aux processus linéaires causaux.

29 janvier 2010 Youssef Farez (LAMFA, Amiens) Dynamique de l'application x-→xp+a dans un corps local Après avoir rappelé la notion de corps local, nous allons étudier la dynamique de l'application φa définie par φa(x)=xp+a. Le théorème de Birkhoff assure l'existence d'une partie minimale. Nous allons, dans la première partie de l'exposé, montrer que toutes les parties minimales de φa sont des cycles. La seconde partie sera consacrée à l'étude des longueurs des cycles de φa.

26 février 2010 Valérie Girardin (LMNO, Caen) Entropie et processus (semi-)markoviens L'entropie et les processus markoviens sont liés depuis la première version de la propriété d'équipartition asymptotique formulée par Shannon en 1948 pour des chaînes de Markov. Depuis, différentes extensions de cette propriété et du théorème ergodique de la théorie de l'information ont été établies, en particulier pour des chaînes et processus semi-markoviens, pour lesquels une formule explicite du taux d'entropie peut être donnée.

12 mars 2010 Abed Bounemoura (Université Paris-Sud) Stabilité des systèmes Hamiltoniens presque-intégrables Motivée par des problèmes issus de la mécanique céleste, une question fondamentale en systèmes dynamiques est d'étudier les perturbations des systèmes Hamiltoniens intégrables. On commencera par rappeler les méthodes de la théorie classique des perturbations ainsi que les principaux résultats, puis on détaillera le théorème de Nekhoroshev qui donnent des résultats de stabilité exponentielle. Si le temps le permet, on expliquera une preuve plus simple du théorème de Nekhoroshev obtenue en collaboration avec Laurent Niederman.

26 mars 2010 Rodrigo Trevino (University of Maryland) Recent results on Automated Computer-Assisted Proofs in Dynamical Systems I will talk about recent progress of a particular flavor of computer-assisted proofs in dynamical systems. Using these tools it is possible to prove a semi-conjugacy to a subshift of finite type, being able thus to give a rough description of the dynamics of the original system. Moreover, one can also give a lower bound for the topological entropy. I will start with the basic notions and definitions as well as our main tool, discrete Conley index theory, and will explain how one can get rigorous results through a computer. I will then explain how it is possible to automate the procedure to prove a semi-conjugacy to a subshift of finite type. I will illustrate this all with a few examples of classical systems. This is joint work with Sarah Day and Rafael Frongillo.

23 avril 2010 Qing Chu (Université de Marne La Vallée) Récurrence multiple du type Khintchine pour deux transformations qui commutent Un sous-ensemble E de Z est dit syndétique si Z peut être couvert par un nombre fini de translations de E. Soient (X,X,μ) un espace probabilisé et T une transformation mesurable et préservant μ. Soit A∈X un ensemble de mesure positive. Le théorème de récurrence de Khintchine énonce que pour tout ε>0, l'ensemble {n∈Z : μ(A∩ Tn A) > μ(A)2-ε } est syndétique. Furstenberg a démontré un théorème de récurrence multiple pour une transformation. Peu de temps après, Furstenberg et Katznelson ont généralisé ce résultat au cas de plusieurs transformations qui commutent.
Il est naturel de s'interroger s'il existe un théorème de récurrence multiple du type Khintchine, autrement dit si la mesure μ(A∩ Tn A∩...∩ TknA) pour une transformation, ou la mesure μ(A∩T1n A∩...∩ Tkn A) pour plusieurs transformations admet une borne inférieure de la forme μ(A)c pour un entier naturel quelconque c.
Pour une transformation, cette question a été résolue par Bergelson, Host et Kra.
Dans cet exposé, nous allons montrer un résultat concernant la récurrence multiple du type Khintchine pour deux transformations qui commutent. Nous allons utiliser la machinerie des systèmes Magiques introduite récemment par B. Host pour la preuve.

14 mai 2010 Mohamed El Machkouri (Rouen) Normalité asymptotique de l'estimateur à noyau de la densité d'un champ aléatoire fortement mélangeant Nous présenterons dans cet exposé un théorème limite central pour l'estimateur à noyau de la densité d'un champ aléatoire réel fortement mélangeant (au sens de Rosenblatt, 1956). La preuve est basée sur la méthode de Lindeberg (1922) qui fournit des conditions suffisantes minimales sur les coefficients de mélange fort du champ aléatoire et le paramètre de fenêtre de l'estimateur.

11 juin 2010 Alexandre Danilendo (Kharkov) Spectral multiplicities for infinite measure preserving transformations. (joint work with V. Ryzhikov) For each subset E of positive integers, there is an ergodic infinite measure preserving transformation whose set of spectral multiplicities is E.