Chaînes et processus de Markov

François CHARLOT, Université de Rouen

Ce cours est fortement conseillé aux étudiants désirant suivre les options de probabilités (S5, S6).

Programme :
Définition et exemples de chaînes et de processus de Markov (Marches aléatoires, processus de renouvellement, processus de Poisson, files d'attente, chaînes de Markov et génôme)
Chaînes de Markov (propriété de Markov forte, mesures et fonctions invariantes, entropie, irréductibilité, périodicité, récurrence et transience, ergodicité, théorèmes limite).
Processus markoviens de sauts (construction, propriété de Markov forte, équation de Chapman-Kolmogorov, générateur infinitésimal, semigroupe de transition, théorèmes limite).
Applications aux files et aux réseaux de files d'attente et aux systèmes de particules (Files M/M/k, G/G/k, réseaux de Jackson, particules indépendantes, processus d'exclusion simple, processus de zero-range).

Bibliographie :
Asmussen S. Applied probability and queues, Wiley, 1987.
Billingsley. Probability and measure. Wiley, 1986.
Bouleau. Processus stochastiques et applications. Hermann, 1988.
Chung. Markov chains with stationary transition probability. Springer Verlag, 1987.
Durrett. Probability : theory and examples. Nadworth and Brooks, 1991.
Kemeny, Snell and Knap. Denumerable Markov chains. Van Nostrand, 1966.
Robert, P., Réseaux de files d'attente : méthodes probabilistes, Springer, 2000.

Introduction à la modélisation pour l'analyse d'images

O. BENOIS, R. FERNÁNDEZ, G. GRANCHER, E. JANVRESSE et T. de la RUE
CNRS - Université de Rouen

Bibliographie :
Chalmond B. (2000) Eléments de Modelisation pour l'Analyse d'Images, Math et Applications 33, SMAI-Springer .
Cho Z. H., Jones J. P. et Singh M. (1993) Foundations of Medical Imaging, Wiley.
Natterer F. (1986) The Mathematics of Computerized Tomography, Wiley

Sur l'amélioration des estimateurs

Dominique FOURDRINIER, Université de Rouen

En 1956, Charles Stein [1] découvre un phénomène statistique auquel la communauté statisticienne donne son nom en parlant d'effet Stein ou de paradoxe de Stein. Ce phénomène consiste en la non admissibilité de l'estimateur de maximum de vraisemblance de la moyenne d'une loi gaussienne n-dimensionnelle lorsque la dimension n est supérieure ou égale à 3.
Le caractère "phénoménal" a trait à la coupure de dimension ainsi mise en évidence. En effet, si n=1 ou si n=2, le maximum de vraisemblance est admissible sous coût quadratique. En revanche, cette admissibilité est perdue pour tout n>2 (cf. [2] et [3]). Ce phénomène signifie que, disposant d'un n-uplet de moyennes, estimer celles-ci individuellement (en les considérant l'une après l'autre) ou les estimer globalement (en les envisageant comme formant un vecteur) n'est pas équivalent. Une différence est mise en évidence selon que n<3 ou que n>3. Le "paradoxe" tient à ce que le regroupement des n estimateurs admissibles peut conduire à un estimateur inadmissible alors même que les observations sous-jacentes sont des quantités indépendantes (pouvant, en pratique, n'avoir aucun lien entre elles).
Le résultat de Stein a des conséquences fondamentales. Il met en évidence que le caractère sans biais d'un estimateur n'est pas (ou n'est plus) la propriété ultime qu'il faille rechercher. Le phénomène souligne le fait que la Théorie de la Décision apporte des critères qui, via la fonction de coût, peuvent s'avérer incompatibles avec les critères statistiques classiques. L'objectif de recherche d'un éventuel "meilleur" estimateur (i.e. meilleur que tous les autres) paraît alors sans objet.
Le paradoxe de Stein a ouvert la voie à de nombreuses recherches en estimation. Ainsi la littérature sur les estimateurs dits "shrinkage estimators" (la traduction française, peu élégante, d'estimateurs à rétrecisseur été proposée) est-elle abondante. La démarche conduisant à ces estimateurs repose tout d'abord sur le choix d'un estimateur standard (pour le problème d'estimation considéré). On entend par là que cet estimateur possède des propriétés telles que son usage s'impose naturellement (soit, par exemple, la minimaxité qui est présente dans le cas gaussien énoncé plus haut). Le but est alors de déterminer des estimateurs qui améliorent l'estimateur standard, le phénomène étant encore illustré par une coupure de dimension.
Il s'avère que le phénomène de Stein survient pour la plupart des lois d'échantillonnage, pour la plupart des fonctions de coût et pour la plupart des problèmes d'estimation; ainsi l'estimation de coût est aussi le lieu où il se rencontre (cf. [4] et [5]).
Le but de ce cours est d'intégrer les plus récentes avancées dans ce domaine. Ainsi le cadre gaussien est remplacé par des hypothèses distributionnelles plus générales telles celles données par les lois à symétrie sphérique. Souhaitant donner un cadre mathématiquement élaboré à notre étude, nous nous proposons de présenter les outils analytiques nécessaires que sont les mesures de surface, le théorème de Stokes, les fonctions surharmoniques et quelques notions de bases provenant de la Théorie du Potentiel (cf. [6] et [7]). Tout ce matériel est rarement réuni en vue d'être utilisé par des statisticiens et s'avère très pertinent dans ce cadre distributionnel sphérique (cf. [8] et [9]).
Nous voulons mettre en évidence l'intervention du phénomène de Stein dans divers points de la Théorie de l'Estimation : estimation ponctuelle, estimation par région de confiance, estimation d'un coût. L'apport de l'Analyse Bayésienne (cf. [10] et [11]) sera souligné et des croisements seront effectués avec l'Analyse Fréquentiste.

Références :
[1] Stein, C. Inadmissibility of the usual estimator for the mean of a multivariate distribution. Proc. Third Berkeley Symp. Math. Statist. Prob., volume~1, pages 197--206. Berkeley, University of California Press, 1956.
[2] James, W. and Stein, C. Estimation with quadratic loss. Proc. Fourth Berkeley Symp. Math. Statist. Prob., volume 1, pages 361--380. Berkeley, University of California Press, 1961.
[3] Stein, C. Estimation of the mean of a multivariate normal distribution. The Annals of Statistics, 9(6):1135--1151, 1981.
[4] Fourdrinier, D. and Wells, M.T. Estimation of a loss function for spherically symmetric distributions in the general linear model. The Annals of Statictics, 23(2):571--592, 1995.
[5] Fourdrinier, D. and Wells, M.T. Loss estimation for spherically symmetric distributions. Journal of Multivariate Analysis, 53(2):311--331, 1995.
[6] Dellacherie, C. and Meyer, P.A. Probabilities and Potential. North Holland, Amsterdam, 1978.
[7] Donoho, D.L., and Johnstone, I. Adapting to unknown smoothness via wavelet shrinkage. Journal of the American Statistical Association, 90(432):1200--1224, 1995.
[8] Cellier, D. and Fourdrinier, D. Shrinkage estimators under spherical symmetry for the general linear model. Journal of Multivariate Analysis, 52(2):338--351, 1995.
[9] Cellier, D., Fourdrinier, D. and Robert, C. Robust shrinkage estimators of the location parameter for elliptically symmetric distributions. Journal of Multivariate Analysis, 29:39--52, 1989.
[10] Strawderman, W.E. On the existence of proper bayes minimax estimators of the mean of a multivariate normal distribution. Proc. Sixth Berkeley Symp. Math. Statist. Prob., volume 1, pages 51--55. Berkeley, University of California Press, 1970.
[11] Strawderman, W.E. Proper bayes minimax estimators of the multivariate normal mean. Ann. Math. Statist., 42:385--388, 1971.

Introduction aux mathématiques financières et théorie de l'assurance

Serguei PERGAMENCHTCHIKOV, Université de Rouen

Programme :

1. Marchés financiers en discret temps.
   Problème d'investissement dans un marché.
   Prix inférieurs et supérieurs.
   Marché complet et non complet.
   Théorème de complétude.
   Stratégies "buy and hold".
   Notation d'arbitrage.
   Critères d'absence d'arbitrage.
   Évalution des options européennes dans un marché complet et dans un marché non complet.

2. Marchés financiers en temps continu.
   Mouvement brownien et équations differentielles stochastiques.
   Modèle de Black-Scholes et ses généralisations.
   Modèles de volatilité stochastique de Hull et White.
   Modèles avec des coûts de transactions.
   Algorithme de Leland.
   Problème de maximisation d'utilité.
   Modèle de Merton et sa généralisation.

3. Modèles d'Assurances
   Modèle de Cramer-Lundberg.
   Fonction de ruine. Théorème de Cramer-Lundberg.
   Modèles d'assurance avec investissement aux actifs risqués.
   Modèle de Nornberg. Bornes de Kalashnikov pour la fonction de ruine.

Bibliographie :
D. Lamberton, B. Lapeyre (1997) : Introduction au calcul stochastique appliqué èa la finance. Ellipse.
A.N. Shiryev (2000) : Essential of stochastic finance. Facts, Models, Theory. World Scientific.
Asmussen S. (2000) : Ruin Probabilities. World Scientific.
Grandell I. (1990) : Aspects of Risk theory. Springer.
Embrechts P., Klüppelberg C., Mikosch, T. (1997) : Modelling Extremal Events for Insurance and Finance. Springer.
Karatzas I., Shreve S. (1998) : Brownian Motion and Stochastic Calculus. Springer-Verlag.

Introduction à la théorie ergodique

El Houcein EL ABDALAOUI, Thierry de la RUE, Dalibor VOLNY
CNRS - Université de Rouen

Bibliographie :
Billingsley, P. (1965) Ergodic Theory and Information Wiley. New York
Billingsley P. (1968) Convergence of Probability Measures. Wiley
Cornfeld, I.P., Fomin, S.V., Sinai, Ya.G. (1982) Ergodic Theory Springer-Verlag, New York
Krengel, U. (1985) Ergodic Theorems W. de Gruyter, New York
Lesigne E., Volny D. (2001) : Large deviations for martingales. Stoch. Proc. and theirs Appl. 96 143-159
Liardet P., Volny D. (1997) Sums of continuous and differentiable functions in dynamical systems. Israel J. of Mathematics, 98, pp 29-60
Nadkarni M.G. (1998) Spectral Theory of Dynamical Systems
Nadkarni M.G. (1998) Basic Ergodic Theory
Shields, P. (1996) The Ergodic Theory of Discrete Sample Paths. AMS Providence, Rhode Island
de la Rue T. (1993) Entropie d'un Système Dynamique Gaussien : Cas d'une action de Z^d. CRAS 317 p 191-194
de la Rue T. (1998) L'Ergodicité induit un Type Spectral Maximal équivalent à la Mesure de Lebesgue Annales de l'IHP 34 p249-263
Volny D. (1990) On limit theorems and category for dynamical systems. Yokohama Math. J. 38, pp 29-35
Volny D. (1993) Approximating martingales and the central limit theorem for strictly stationary processes. Stochastic Processes and their Applications, 44, pp 41-74

Systèmes infinis de particules

C. LANDIM et E. SAADA, CNRS et Université de Rouen

Programme :
Etude microscopique et macroscopique du processus d'exclusion simple

1. constructions graphique et analytique,
2. principales propriétés,
3. limite hydrodynamique (modes constructif et analytique),
4. étude du choc microscopique.

Bibliographie :
M.D. Donsker, S.R.S. Varadhan (1989) Large deviation from hydrodynamic scaling limit. Comm. Pure Appl. Math., 42, 243-270
C. Kipnis, C. Landim, (1998) Scaling limits of interacting particle systems, Springer-Verlag
T.M. Ligget (1985) Interacting Particle, Springer-Verlag
H. Spohn (1991) Large Scale Dynamics of Interacting Particle, Springer-Verlag.
P.A. Ferrari, C.Kipnis, E. Saada ; Microscopic structure of travelling waves in the asymmetric simple exclusion. Ann. Probab. 19 (1991), 226--244.
(1998) The Sherrington-Kirpatrick model: a challenge for mathematicians. Prob. Th. Rel. Fields 110, 109-176
Comets, Neveu (1995) Sherrington-Kirpatrick model of spin glasses and stochastic caclulus: the high temperature case. Commun. Math. Physics 166, 549--564
Frolich, Zegarlinski (1987) Some comments on the Sherrington-Kirpatrick model of spin glasses. Commun. Math. Phys. 112, 553-566 .
Landim, Olla, Central Limit Theorems for Markov Processes, Notes, 2001.
Varadhan, AMS Fields inst. Comm. 27 (2000)